Ставшие теперь регулярными конференции по гомотопической теории схем (Люмини, Мюнстер, Тулуза, Оберни, Кэмбридж) собирают такие имена, как Воеводский, Суслин, Морель, Хопкинс, Блох, Лихтенбаум, Рост, Меркурьев, Фридландер, Левин, Хопкинс и много других.

Своему рождению гомотопическая теория схем во многом обязана Воеводскому [V1] и его доказательству гипотезы Милнора [V2]. Последовательно развивая идеи Гротендика, Воеводский создал язык, на котором можно свободно говорить о гомотопических конструкциях, оставаясь целиком в рамках алгебраической геометрии. Имеются более, чем серьезные основания полагать, что в рамках гомотопической теории схем удастся атаковать и решить еще не одну старую проблему.

В рамках курса из 4-х лекций предполагается рассказать на примере одной задачи об одном трюке Воеводского, систематически развивая который он построил мотивные когомологии и решил гипотезу Милнора.

Выбрана максимально простая задача.

Задача. Пусть k — поле, f(t), g(t) — многочлены от одной переменной такие, что f(0)≠ 0 ≠ g(0). Предположим, что рациональная функция u = f(t)/g(t) представима в виде u = v²+w², где v и w — рациональные функции.
Доказать, что u(0) = a² + b² для некоторых a и b в поле k.

Наивный прием: u(0) = v(0)² +w(0)² не работает, поскольку v или w могут быть не определены в нуле. Поэтому необходим трюк.

---

Предполагаются следующие знания:

• Знакомство с понятиями поля и конечного расширения полей.
• Знакомство с понятием определителя.
• Знакомство с понятием коммутативного кольца и модулей над ним.
• Немножко желания и геометрического воображения

Список литературы
[V1] V. Voevodsky. A1-Homotopy theory. Doc. Math., Extra Vol. ICM 1998(I), 417–442.
[V2] V. Voevodsky. The Milnor Conjecture. MPI-preprint, 97–8, 51pp. 1997.