Владимир Юрьевич Протасов Наглядная теория экстремума В.Ю.Протасов планирует провести 4 занятия

Теория экстремума изучает минимумы и максимумы функций на множествах. В мини-курсе из четырёх лекций мы постараемся изложить идеи основных методов этой теории, от классических до современных. Применения этих методов весьма разнообразны: от основной теоремы алгебры до тонких результатов выпуклой геометрии, таких как теорема Минковского о многогранниках, теорема Бирхгофа о биллиардах, теорема Радона-Минковского и т.д. Будет рассмотрено несколько примеров, которые приведут нас к началам вариационного исчисления и к задачам о геодезических на многогранниках.

Доказательства, как правило, будут наглядны (что следует из названия мини-курса) и элементарны. Лекции рассчитаны на учеников 10-11 классов и студентов младших курсов.

• Лекция 1.  Экстремум и теоремы существования.

  Доказательства теорем существования методами теории экстремума (основная теорема алгебры, теорема Бирхгофа о замкнутых биллиардах, теорема Радона-Минковского). Наилучшие приближения. Многочлены Чебышева. Альтернанс.

• Лекция 2. Конечномерные экстремальные задачи. Подход Лагранжа.

  Множители Лагранжа. От задачи Штейнера о шарнирном четырёхугольнике — к решению задачи Дидоны. В чём секрет метода множителей? Доказательства классических неравенств. Теорема Минковского о существовании многогранника с данными площадями граней.

• Лекция 3. Что такое вариационное исчисление?

  Брахистохрона — кривая наискорейшего спуска. Оптико-механический подход И.Бернулли. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Примеры. Аэродинамическая задача Ньютона.

• Лекция 4. Геодезические на выпуклых поверхностях.

  Гипотеза Пуанкаре о трёх замкнутых геодезических. Пример четвертой геодезической на эллипсоиде. Геодезические на тетраэдре. Теорема о числе замкнутых геодезических на многограннике. Некоторые нерешённые задачи.