«Город расположен четвероугольником, и длина его такая же, как и широта. И измерил он город тростью на двенадцать тысяч стадий; длина и широта и высота его равны». (Откровение Иоанна Богослова, 21:16)

«Свет мой, зеркальце, скажи...»
(А.С.Пушкин)

Ещё древние греки знали, что в трёхмерном пространстве существует ровно пять правильных многогранников (платоновых тел): тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Задачу классификации правильных многогранников в пространстве произвольной размерности решил в середине XIX века швейцарский геометр Людвиг Шлефли. Его доказательство опирается на методы элементарной («школьной») геометрии, но, к сожалению, является технически довольно тяжёлым.

Мы классифицируем правильные многогранники несколько иным способом. Следуя общему принципу, восходящему к Феликсу Клейну — «геометрия есть изучение симметрий объектов» — мы будем изучать в первую очередь не сами многогранники, а их группы симметрий. Оказывается, что все эти группы обладают замечательным свойством: они порождаются отражениями относительно некоторого множества гиперплоскостей («зеркал»).

Поэтому вместо исходной задачи — описания групп симметрий правильных многогранников — мы попробуем решить более общую задачу, представляющую и самостоятельный интерес: классифицировать все конечные группы, порождённые отражениями (а не только те из них, которые являются группами симметрий правильных многогранников). Для этого мы научимся строить по каждой такой группе некоторый граф, называемый схемой Кокстера–Дынкина этой группы, и выпишем полный список таких графов. По загадочным причинам весьма похожие списки графов возникают во многих других важных алгебраических задачах. Hапример, с одной из таких задач познакомятся слушатели курса И. В. Аржанцева о представлениях колчанов.

Помимо нашей основной цели — описания правильных многогранников в пространствах различных размерностей — из классификации групп, порождённых отражениями, можно будет получить ещё несколько интересных следствий. Например, мы выясним, как можно замостить сферу одинаковыми треугольниками, а также почему порядок симметрии кристалла может равняться только 2, 3, 4 или 6.