Если функция f: R→ R удовлетворяет соотношению f(x+y)=f(x)+f(y), обязательно ли она имеет вид f(x)=kx? Есть ли у поля комплексных чисел автоморфизмы, отличные от тождественного и от комплексного сопряжения? На эти и на многие другие подобные вопросы затруднительно дать ответ, если искать явную конструкцию. Существование объектов с нужными свойствами доказывается неконструктивно, с применением аксиомы выбора.

Если принять эту аксиому, то становятся возможными многие конструкции, использующие понятие трансфинитного числа. Мы обсудим понятие вполне упорядоченного множества, познакомимся с ординальными и кардинальными числами и рассмотрим их применения в различных областях математики. Эти применения варьируются от построения экзотических объектов (как в парадоксе Банаха–Тарского: шар можно разрезать на конечное число кусков и сложить из них шар вдвое большего радиуса) до фундаментальных теорем: теорема Хана–Банаха, теорема Тихонова о сохранении компактности произведениями, теорема о существовании максимальных идеалов в кольцах.