Число вращения — фундаментальный инвариант, определяющий динамику итераций диффеоморфизма окружности: это среднее число оборотов, которое совершает точка за n применений отображения. В частности, рациональность числа вращения равносильна наличию периодических точек. При условии, что диффеоморфизм достаточно гладкий, а его число вращения иррационально — он приводится к чистому повороту непрерывной заменой координат. Более того, если число вращения диофантово — "плохо приближающееся рациональными" — то замена оказывается гладкой.

В. И. Арнольдом была высказана гипотеза, связывающая число вращения с предельным поведением комплексного объекта, который можно сопоставить диффеоморфизму — эллиптической кривой (что бы это ни значило). Эта гипотеза была доказана Вадимом Молдавским; кроме того, Ю. С. Ильяшенко и В. С. Молдавский показали, что в типичной ситуации с рациональным числом вращения модули эллиптических кривых не стремятся к вещественной оси (и, в частности, к числу вращения).

Интересная открытая проблема, которой мы завершим курс — описать полностью поведение отображения модулей, в частности, понять, инъективно ли оно, и имеют ли место "пузыри Фёдорова". (На закончившейся две недели назад летней школе по динамическим системам Н. Гончарук и И. Щуровым были высказаны аргументы, заставляющие усомниться в инъективности отображения модулей.)

Курс предполагается понятным всем желающим, а необходимые сведения из комплексного анализа будут пояснены.