В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.
Мы поговорим о сюжете, связывающем геометрические понятия — связности и главные расслоения — с физикой, а именно, с уравнениями Максвелла. Оказывается, что уравнения Максвелла, задающие законы изменения электрического и магнитного полей, очень естественно и красиво переформулируются в терминах дифференциальной геометрии — расслоений, связности, кривизны. Под конец мы посмотрим на уравнение Янга-Миллса, — исследование которого (из-за связи со слабым и сильным ядерными взаимодействиями) входит в число семи «проблем тысячелетия», объявленных институтом Клэя!
- Общефизическое введение: элементарные частицы, поля, волны.
Четыре взаимодействия: электромагнитное, слабое, сильное, гравитационное.- С небес на землю — конкретная работа: электричество и магнетизм.
Четыре уравнения Максвелла, их «школьный» физический смысл.- Внешние дифференциальные формы: формальное определение и суть («то, что можно интегрировать»).
- Объединение законов Максвелла в два уравнения: dF=0, d*F=J.
- Понятие расслоения. Связность в расслоении — как ответ на вопрос, «что нужно, чтобы дифференцировать функцию?».
Получается ли локально связность из прямого произведения, или бывает «улыбка Чеширского кота без кота»?
Кривизна связности — как способ измерять «чеширскость».- Принцип наименьшего действия. Возможно — если останется время — несколько слов про интегралы от быстроосциллирующих функций и квантовую механику.
- Идея уравнения Эйлера-Лагранжа на физическом уровне строгости. Её следствие: если у системы в зависимости от текущего состояния задана функция-«лагранжиан», то можно писать, как система будет дальше эволюционировать, не выписывая по отдельности действующие в системе силы.
- Уравнения Максвелла являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого простого лагранжиана, а именно, интеграла квадрата «релятивистской» нормы формы кривизны.
- Финальный аккорд — уравнения Янга-Миллса: «а что будет, если слой не окружность (как это в уравнении Максвелла), а какая-нибудь другая группа?».
