На главную страницу ЛШСМ-2009

Теория полиномиальных инвариантов узлов — наука, в которой можно найти много актуальных, и при этом весьма наглядных сюжетов. Мы разберем как классические многочлены узлов и зацеплений, появившиеся двадцать-тридцать лет назад или даже раньше, так и некоторые современные инварианты — такие, как гомологии Хованова.

Первые две лекции будут понятны абсолютно всем слушателям; предварительных знаний не требуется, а пространственная интуиция появится у вас по ходу занятия. На последних двух лекциях от слушателей потребуется знание основных понятий линейной алгебры: базис, линейное отображение, факторпространство.

1. Узлы и зацепления, их плоские диаграммы. Поверхность Зейферта. Род узла: просто определить, но сложно вычислить. Алгоритм Зейферта. Вычисление рода торического узла (в задачах), гипотеза Милнора (формулировка).
2. Как различать узлы на практике: полиномы узлов и зацеплений. Движения Рейдемейстера плоских диаграмм. Скейн-соотношения. Полиномы Александера, Джонса и HOMFLY, их связь между собой. Примеры вычисления. Явное построение полинома Джонса с помощью скобки Кауффмана (в задачах). Эта лекция во многом основывается на соответствующих главах из книги А.Б.Сосинского «Узлы и косы».
3. Инварианты, возникшие недавно: гомологии Хованова. Определение. Вычисление для разных диаграмм тривиального узла и зацепления Хопфа.
4. Эйлерова характеристика гомологий Хованова. Доказательство совпадения градуированной эйлеровой характеристики гомологий Хованова с полиномом Джонса.