А.Г.Кузнецов планирует провести 2 занятия.
На примере задачи о том, сколько эллипсов на плоскости касается пяти данных эллипсов, будут продемонстрированы многие замечательные результаты и конструкции алгебраической геометрии.
Комментарий оргкомитета
Задача Аполлония о числе окружностей, касающихся трёх данных, датируется III веком до нашей эры, а сейчас является школьной, и имеет естественный максимальный ответ — 8. Собственно, если подходить к вопросу чисто алгебраически — решений всегда 8, просто иногда (скажем, если одна из окружностей лежит строго внутри другой) часть решений оказывается комплексной, а не вещественной.
Один из способов это увидеть следующий. Условие касания с окружностью задаётся многочленом степени 2, и мы имеем систему из 3 уравнений степени 2 (на три задающие окружность неизвестные). По теореме Безу (точнее, её аналогу) эта система имеет 2*2*2=8 (комплексных) решений.
Однако, попытка решить таким же образом аналогичный вопрос про произвольные кривые 2 степени на плоскости (сколько квадрик касается пяти заданных), удивительным образом, привела к ошибке! Хотя одно касание задаётся уравнением 6 степени на коэффициенты, решений вовсе не 65=7776 — ошибка Штейнера! Ошибка возникает потому, что такой лобовой способ эти квадрики искать находит, кроме (нужных) отдельных гладких кривых, ещё и целое двумерное семейство «кратных прямых» — квадрик с уравнением L2=0.
На самом деле решений 3264, этот результат получили де Жонкирес и Шаль; кстати — как было показано в 1997 году Ронга, Тогноли и Вюстом, для некоторой конфигурации исходных кривых 2 порядка все 3264 квадрики оказываются вещественными (то есть ситуация аналогична случаю окружностей).
Наконец, в 2005 году появился замечательный результат Жан-Ива Вельшенжера, утверждающий, что для пяти эллипсов, ограничивающих непересекающиеся (вплоть до границы) области, имеется не меньше 32 вещественных касательных квадрик — как бы эллипсы ни были расположены! Этот результат — применение инварианта Вельшенжера, вычисление которого опирается на замечательную тропическую геометрию, в которой прямая состоит из трёх лучей, а окружность из шести лучей и трёх отрезков.
Оргкомитет, разумеется, не может утверждать, какие из этих сюжетов будут рассказаны А. Г. Кузнецовым в его лекции, и считает, что эксперимент в этом случае является простейшим случаем решения вопроса.
