Владимир Владимирович УспенскийТопологическая размерность и неподвижные точки.В.В.Успенский планирует провести 2 занятия |
|
Как придать точный смысл утверждению, что поверхности двумерны, а пространство трехмерно? Есть несколько подходов.
Один из них использует индукцию: пространство трехмерно, потому что стены двумерны (Пуанкаре).
Другой подход основан на понятии кратности покрытия (Лебег): кирпичная стена двумерна, потому что при любой форме кирпичей найдутся точки, лежащие на границе по меньшей мере трех из них. Эти подходы эквивалентны и тесно связаны с теоремой Брауэра о неподвижной точке.
Мы обсудим различные варианты теоремы Брауэра и ее следствия, такие, например, как "теорема о еже" (ежа нельзя причесать) и теорема о том, что n-мерное пространство Rn действительно n-мерно.
