| На главную страницу ЛШСМ-2010 | К списку курсов ЛШСМ-2010 |
Сергей Петрович НовиковСамосопряженные операторы на графах и геометрияС. П. Новиков планирует прочесть 1 лекцию. |
|
Рассмотрим вещественные (разностные) самосопряженные операторы, действующие на пространстве функций на вершинах графа Г:
Lψ(P)=∑P'bPP'ψ(P')
и задачу о нахождении их спектра Lψ=λψ.
Порядок оператора равен удвоенному максимальному расстоянию между такими P и P', что bPP'≠0. Самосопряженность означает что bPP'=bPP'.
Симплектическое внутренее произведение определено на парах решений, принадлежащих группе гомологий H1open(Γ,R); оно кососимметрично: W(ψ1,ψ2)=–W(ψ2,ψ1).
Это приводит к красивым исследованийм симплектической геометрии физической “теории рассеивания” для графов с хвостами. Первое обсуждение связи теории продолжения симметричных операторов Ван Ньюмана произошло в 1971 году (идея принадлежит И. М. Гельфанду). Эта идея лежит в основе современной конструкции опубликованной в 1997 году и в серии последующих работ (большая работа была опубликована в 1999 году и посвящена 60-ти летию со дня рождения В. И. Арнольда.)
Комментарий председателя программного комитета.
Не пугайтесь незнакомых слов в этом анонсе!
На самом деле теория самосопряженных операторов на графах (с хвостами и без) в каком-то смысле нагляднее и понятнее, чем классическая теория таких операторов в областях евклидовых пространств. Конечно, для ее понимания нужно знать основы линейной алгебры, но даже если вы не поймете математическую суть дела, вы получите уникальную возможность посмотреть на то, как мыслит и работает один из крупнейших математиков современности.
