Марина Файвушевна Прохорова Трехмерные многообразия М.Ф.Прохорова планирует провести 4 занятия.

Понятие многообразия является естественным обобщением двумерной поверхности. Трехмерные многообразия локально (то есть внутри каждого маленького кусочка) устроены так же, как и обычное трехмерное пространство, но глобально они могут быть устроены очень по-разному.

Замкнутое трехмерное многообразие можно склеить из двух одинаковых кренделей. Результат такой склейки зависит от того, каким образом мы склеили (отождествили) поверхности этих двух кренделей. От одного такого отождествления можно перейти к любому другому, используя только элементарные преобразования — скручивания внутри тонких колец, расположенных на поверхности кренделя.

Есть и другой способ получить замкнутое трехмерное многообразие: надо взять трехмерную сферу, вырезать из нее несколько непересекающихся бубликов (возможно, завязанных узлами и зацепленных друг с другом), и потом приклеить вырезанные бублики обратно к полученному краю (состоящему из нескольких торов), но уже каким-то другим способом. Такая операция называется перестройкой. Ее можно произвести не только с трехмерной сферой, но и с произвольным трехмерным многообразием, причем любое трехмерное многообразие можно получить из любого другого такой перестройкой.

Примерная программа

1. Замкнутые трехмерные многообразия. Триангуляция многообразия.
2. Разбиения Хегора. Линзовые пространства. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора.
3. Гомеоморфизмы поверхности. Группа классов отображений. Скручивания Дена.
4. Узлы и зацепления. Перестройка по зацеплению. Целочисленные перестройки.
5. Любое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить из любого другого целочисленной перестройкой по зацеплению.

Специальных знаний у слушателей не предполагается. Предполагается знакомство с понятием непрерывного отображения (или непрерывной функции).