Мы будем рассматривать следующий вопрос: как устроено пересечение поверхности с плоскостью, близкой к касательной.

В частности, нас будет интересовать количество точек перегиба и вершин (точек экстремальной кривизны) кривой, получающейся в пересечении. Если взять эллипсоид, то в пересечении будет маленький эллипс, у которого, как известно, четыре вершины. Оказывается, что если локально поверхность является слабо деформированным эллипсоидом, то пересечение будет иметь четыре вершины, а если поверхность устроена как седло, то существует несколько качественно различных видов пересечения. На лекции будет показано, как определять поведение пересечения поверхности и плоскости, близкой к касательной, без громоздких вычислений.

На второй лекции этот вопрос будет рассмотрен уже с точки зрения поверхности в целом: как устроены области, в которых точки проявляют одно и то же поведение. Границами областей с одинаковым поведением оказываются кривые, которые рассматриваются в компьютерном зрении (восстановлении трёхмерных объектов по плоским изображениям) как характерные кривые на поверхности (разумеется, в данном случае нас интересуют только характерные кривые, не зависящие от освещения или расположения точки зрения). Будет описано разбиение поверхности характерными кривыми и происходящее на самих характерных кривых, в их окрестности и в окрестности их пересечений.