Как могут быть расположены замкнутые линии уровня многочлена от двух переменных? Этот вопрос волновал математиков, начиная с античности (кривые Апполлония). Гильберт включил его в список своих проблем. Формулируя 16-ю проблему своего знаменитого списка, Гильберт писал: «Что касается кривых шестого порядка, то я — правда, на достаточно сложном пути, убедился, что те 11 ветвей, которые получаются по Гарнаку, никогда не расположены все вне друг друга». Специалисты считают, однако, что первое полное доказательство этого факта было дано Петровским лишь в 1938 году. Полное решение проблемы Гильберта для алгебраических кривых 6-й степени получил Гудков в 1968 году. В 1971 году, пытаясь доказать гипотезу Гудкова, Арнольд совершил прорыв в исследовании овалов алгебраических кривых и заложил фурдамент вещественной алгебраической геометрии. Основой для этого исследования послужил выход в комплексную область и применение современных топологических методов.

В этих лекциях, начиная с определения комплексных чисел, будет рассказана теорема Харнака и объяснено появление числа 11 в цитированном тексте Гильберта.  Работа Арнольда будет рассказана слушателям, совершенно не знакомым с топологией; необходимые сведения из топологии будут сообщены. При этом будут пропущены второстепенные общие утверждения, которые слушатели,  знакомые с основами топологии, смогут восстановить самостоятельно. В частности, будет объяснено, почему 11 ветвей, упомянутые Гильбертом, никогда не расположены все вне друг друга.