Парадоксом Банаха-Тарского называют следующее удивительное утверждение, доказанное в 20-х годах прошедшего века: два шара разных радиусов (а на самом деле — более или менее любые два тела в пространстве) равносоставлены. Это означает, что один шар можно таким образом разбить на конечное число попарно не пересекающихся частей, что из подмножеств пространства, равных этим частям (то есть переводящихся в них движением) можно без зазоров и перекрытий сложить второй шар. При этом существенно, что речь идет именно о пространственных телах: два плоских многоугольника разной площади равносоставленными не являются!

На первый взгляд это утверждение кажется совершенно противоречащим интуиции (можно ли из яблока сделать два яблока?), и обычно его приводят в качестве иллюстрации разницы между предметами реального мира и описывающими их математическими абстракциями. Все это так, однако же за сформулированной нами теоремой стоит красивая и математика, и именно этим парадокс Банаха-Тарского в первую очередь интересен.

Программа.

1. Равносоставленность в наивном смысле: что можно на плоскости и чего нельзя в пространстве. Равносоставленность в точном смысле. Теорема Кантора-Бернштейна для равномощности и равносоставленности. Подготовка к конструкции Банаха-Тарского.
2. Что такое группа. Примеры групп. Как из одного абстрактного яблока сделать два абстрактных яблока.
3. Возвращаемся к геометрии: почему любые два тела равносоставлены.
4. * (Если будет время и желание.) А почему этот же номер не проходит на плоскости?

Предварительные сведения. Сверх школьной программы необходимо знакомство с понятием множества и примерами счётных и несчётных множеств.