В конце позапрошлого века Гурвиц заинтересовался формулами вида

(x₁² + … + x_r²) (y₁² + … + y_s²)= z₁² + … + z_n², в которых z₁, …, z_n билинейные функции от x_i и y_j. Такие формулы называются формулами Гурвица.

До сих пор открыта поставленная Гурвицем в 1898 году задача: описать все тройки (r; s; n), при которых существует формула Гурвица с r иксами, s игреками и n зетами.

Примеры формул Гурвица можно получить, перемножая комплексные числа, кватернионы или октавы. Более общий класс примеров связан с представлениями алгебр Клиффорда.

Формулы Гурвица связаны с геометрией. Например, они определяют замечательный класс квадратичных отображений из проективных пространств в сферы (отображения Хопфа), которые переводят все прямые в окружности. Задача описания отображений, переводящих прямые в окружности, интересна сама по себе. Она связана с задачами номографии и с подходами к геометризации многообразий. Общие результаты в этой задаче получены только в размерностях, не превосходящих 4.

Мы обсудим геометрические объекты, связанные с формулами Гурвица. Возникнет много открытых задач с элементарными формулировками. Мы не будем пользоваться ничем, кроме линейной алгебры. Необходимые понятия и результаты из линейной алгебры можно будет, при необходимости, кратко повторить.