На главную страницу ЛШСМ-2011

Знаменитая теорема Жордана: простая замкнутая кривая (то есть множество, гомеоморфное окружности) разбивает плоскость на две компоненты — может быть улучшена в различных направлениях. Например, справедлива более сильная теорема Шенфлиса: существует гомеоморфизм плоскости на себя, переводящий заданную простую замкнутую кривую в окружность. Верен ли многомерный аналог теоремы Шенфлиса? Скажем, верно ли, что поверхность в трёхмерном пространстве, гомеоморфная сфере, может быть переведена в сферу гомеоморфизмом пространства на себя? Можно ли выбрать гомеоморфизм гладким, если заданная поверхность гладкая? Как обстоит дело в многомерном случае? Некоторые варианты этой проблемы, известной как проблема Шенфлиса, остаются открытыми.

Мы докажем такое усиление теоремы Жордана: замкнутое ограниченное подмножество X n-мерного евклидова пространства разбивает пространство (то есть имеет несвязное дополнение) тогда и только тогда, когда несвязно пространство отображений X в (n−1)-мерную сферу. Мы обсудим также понятия гомологии и гомотопии, степени отображения сферы в себя и вычислим некоторые гомотопические группы сфер с помощью конструкции Понтрягина–Тома. Мы увидим, что топологическая размерность n-мерного евклидова пространства действительно равна n и что этот факт по существу равносилен нестягиваемости (n−1)-мерной сферы.

Для понимания курса полезно иметь представление об абелевых группах, факторгруппах и гомоморфизмах.