В 1900 году великий немецкий математик Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые Математические проблемы. В десятой из них он просил найти алгоритм для распознавания наличия решений у произвольных диофантовых уравнений. Семьдесят лет спустя было установлено, что такого алгоритма не существует.

Техника, развитая для доказательства этого, позволила получить ещё много интересных результатов, например, построить многочлен с целыми коэффициентами, множество всех положительных значений которого (принимаемых при произвольных целочисленных значениях переменных) есть в точности множество всех простых чисел.

Мини-курс будет состоять из трёх частей.

В первой обзорной лекции будет рассказано об истории 10-й проблемы Гильберта, даны необходимые определения и сформулированы полученные результаты.

На протяжении трех последующих лекций будет дано полное подробное доказательство промежуточного результата — невозможности алгорима для распознавания наличия решений у более сложных экспоненциально диофантовых уравнений.

Остающееся звено — переход от экспоненциально диофантовых уравнений к чисто диофантовым уравнениям — желающие смогут найти самостоятельно в ходе решения серии предложенных им теоретико-числовых задач. Если решивших будет достаточно много, можно будет организовать коллективное обсуждение завершающей фазы отрицательного решения 10-й проблемы Гильберта.