Александр Игоревич Буфетов Александр Владимирович Комлов Детерминантные процессы А.И. Буфетов и А.В.Комлов планируют провести 4 занятия.

Рассмотрим конечный связный граф. Сколько в нем остовных деревьев — деревьев, содержащих все вершины графа? А какая их доля содержит данный набор ребер?

Число остовных деревьев в графе нашёл ещё Кирхгоф в работе 1847 г. об электрических цепях, а в 1993 г. Burton и Pemantle нолучили замечательную формулу для доли остовных деревьев, содержащих данный набор рёбер. Эта формула имеет вид детерминанта матрицы, размер которой равен числу ребер в интересующем нас наборе.

Оказывается, аналогичные детерминантные формулы возникают в самых разных задачах теории вероятностей, теории представлений, анализа, математической физики. Например, рассмотрим квадратную матрицу, элементы которой задаются случаем. Тогда распределение собственных чисел случайной матрицы имеет детерминантный вид.

Цель нашего курса — дать элементарное введение в теорию детерминантных процессов. Первые две лекции, посвященные комбинаторным задачам, будут совершенно элементарны и полностью доступны десятиклассникам. Для понимания двух заключительных лекций желательно знакомство с началами анализа, а также с понятием определителя, которое, впрочем, мы напомним на первом занятии.

Теория детерминантных процессов молода: большинство результатов относится уже к XXI веку.
Мы планируем обсудить недавние достижения и сформулировать нерешенные проблемы.

Программа занятий

1. Детерминанты и пфаффианы
2. Остовные деревья
3. Случайные матрицы
4. Мультипликативные функционалы