Роман Михайлович Фёдоров Кривые: вещественные, комплексные и над конечными полями Р.М.Фёдоров планирует провести 4 занятия.

Рассмотрим многочлен f(x, y) с целыми коэффициентами.
Если считать x и y вещественными числами, он задает кривую на плоскости.
Если считать x и y комплексными, то получится комплексная кривая, с вещественной точки зрения представляющая собой поверхность.
Если же в качестве x и y брать элементы конечного поля, то получится конечное множество.
Оказывается, имеются связи между числом компонент вещественной кривой, топологией поверхности и числом решений уравнения в конечном поле. Об этих связях и пойдет речь.

Ожидается, что слушатели знакомы с понятием комплексного числа и встречались с конечными полями. Желательно знание основ матанализа (например, будут использоваться понятия производной и ряда). Также будет полезно знакомство с топологией, хотя все необходимые понятия и будут введены на занятиях.

Примерный план:

1. Кривые на вещественной проективной плоскости. Их комплексификация.
2. Топология комплексных кривых.
3. Максимальное число компонент вещественной кривой.
4. Кривые над конечными полями. Их дзета-функции.
5. Связь между дзета-функциями кривых над конечными полями и топологией комплексных кривых: гипотезы Вейля.

Если успеем:

6. Ко(гомологии) и набросок доказательства гипотез Вейля для кривых.
7. Многообразия высших размерностей.