Виктор Алексеевич Клепцын Ренормализация и универсальность: динамические системы и решеточные модели. В.А.Клепцын планирует провести 4 занятия.

Как ведут себя итерации «шапочного» отображения f_λ(x)= λ x(1-x) отрезка [0, 1] в себя? При 0<λ<1 из любой начальной точки мы довольно быстро сваливаемся в ноль. При λ=4 динамика совершенно хаотична: замена x=cos²β превращает её в удвоение угла β: T(β)=2β mod 2π.

А как происходит переход от порядка к хаосу? И как он будет происходить, если взять какое-нибудь другое семейство, например, g_µ(x)=µ sin (πx)?

Более 30 лет назад, исследование таких переходов привело к открытию универсальности Фейгенбаума-Кулле-Трессера. Оказывается, что при увеличении параметра происходит каскад бифуркаций (перестроек отображения). И хотя отдельные значения параметров, при которых происходят перестройки, конечно, зависят от семейства, такие значения накапливаются к предельному как геометрическая прогрессия с универсальным — не зависящим от выбора семейства! — знаменателем.

Объяснением этого явления (или, точнее, первым шагом такого объяснения) оказывается возможность ренормализации: отображение f_λ² после ограничения на подотрезок и перемасштабирования координат оказываются отображениями другого, но похожего семейства. В результате, можно перейти от исследования бифуркаций удвоения периода в произвольном семействе h_λ к исследованию отображения ренормализации R, сопоставляющего отображению f перемасштабированное отображение f². И константа Фейгенбаума δ — асимптотический знаменатель в каскаде бифуркаций — оказывается просто неустойчивым собственным значением линеаризации отображения R в его неподвижной точке.

Разобрав эту тему, мы обратимся к другому классу задач, где тоже возникает эффект универсальности, зачастую также (хотя и гораздо менее строго) объясняемый ренормализацией — к решеточным моделям.