В курсе из 4-х лекций будет рассказано о положительном решении одной давно стоявшей наивной задачи (см. формулировку ниже) и ее связи с кобордизмами. Тем самым слушатели познакомятся с алгебраическими кобордизмами, введенными в математику около 2000 года Воеводским с одной стороны и Левиным и Морелем с другой. А так же слушатели познакомятся и с классическими кобордизмами, интенсивно разработанными школами Тома, Милнора и Новикова. Курс расчитан на студентов.

Замечание. Пусть целое число u таково, что уравнение T₁² +T₂² + … + T_n² = u² T_n²_{+ 1}; имеет решение в рациональных числах. Домножив такое решение на подходящее целое число, можно избавиться от знаменателей и получить целочисленное решение. Далеким обобщением этого упражнения является следующая

Задача: Пусть u=f(z₁, …, z_n)/g(z₁, …, z_n) — частное двух комплексных многочленов от n переменных, причем g(0, …, 0) не ноль.

Предположим, что имеется целое к > 0 такое, что u является суммой к квадратов рациональных функций от n переменных. Верно ли, что тогда u можно представить в виде суммы к квадратов рациональных функций p_i/q_i от n переменных, регулярных в окрестности начала координат? (т.е. для каждого q_i (0, …, 0) не ноль).

Если n=1, то решение задачи состоит в небольшой модификации рассуждения про избавление от знаменателей. При n > 1 столь наивный подход не работает. Будет объяснено, что такое алгебраические кобордизмы и как их применение решает положительно указанную задачу.

Замечание. Конечно основная трудность в том, что исходное представление функции u в виде суммы k квадратов могло использовать рациональные функции не регулярные в окрестности начала координат. Задача была решена лектором положительно (см. www.math.uiuc.edu).

В 2009 году решение было опубликовано в Inventiones Mathematicae. Кажется правдоподобным, что метод может сработать и в решении других родственных задач.