Александр Петрович Веселов

Рассмотрим квадратичную форму Q от двух переменных с целыми коэффициентами и зададимся вопросом, какие значения она может принимать на целочисленной решетке. В частном случае стандартной евклидовой формы это классический вопрос о том, когда заданное натуральное число представляется как сумма двух квадратов, исследованный Гауссом.

Около 20 лет назад английский математик Джон Конвей предложил геометрический подход к этому вопросу, используя плоское бинарное дерево. Получаемое описание называется топографом формы. В случае когда форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, они разделяются бесконечным путем на этом дереве, называемым рекой Конвея.

Я расскажу, как река Конвея связана с парусом Арнольда из геометрической теории цепных дробей на целочисленной решетке, восходящей к Клейну. Подробности будут объяснены в моем курсе «Алгебра и геометрия цепных дробей».

Разложение действительного числа в цепную дробь может рассматриваться как обобщение алгоритма Евклида и является одной из наиболее фундаментальных конструкций в математике. Цель курса — введение в теорию цепных дробей и ее глубоких связей с геометрией.

В частности, я планирую рассказать про геометрические подходы Клейна и Конвея, а также про роль модулярной группы SL(2,Z) в теории цепных дробей. В качестве приложения я объясню как решать в целых числах классические уравнения Пелля.

Никаких специальных знаний от слушателей не предполагается.