Антон Андреевич Айзенберг

Курс будет посвящен алгебраической комбинаторике многогранников, триангулированных сфер и триангулированных многообразий с разбором большого числа конкретных примеров и вычислений.

Благородная цель: дойти до формулировки и идеи доказательства g-теоремы: теоремы, которая дает исчерпывающее описание всех таких наборов чисел (f₀,f₁,f,...,f_n), для которых существует n-мерный симплициальный многогранник, имеющий ровно f₀ вершин, f₁ ребер, f₂ треугольников, и так далее.

Примерная программа

1. Симплициальные комплексы. Симплициальные многогранники. h-числа симплициальных комплексов. Соотношения Дена-Соммервилля для многогранников. Формула Эйлера.
2. Линки в симплициальных комплексах. Числа Бетти симплициальных комплексов: идея и примеры. Эйлерова характеристика. Гомологические многообразия и гомологические сферы.
3. Неотрицательность h-чисел гомологических сфер. Градуированные алгебры. Алгебра Стенли- Райснера симплициального комплекса: подсчет количества мономов. Векторные раскраски симплициальных комплексов и зачем они нужны: теорема Райснера.
4. h-числа симплициального многогранника образуют горку. Элемент Лефшеца в алгебре. Комбинаторика гомологических многообразий: теорема Шенцеля и h'-числа, теоремы Новик-Шварца и h''-числа. Минимальные триангуляции двумерных поверхностей.