Иван Вадимович Лосев

Отличие русской и американской школ теории представлений в том, что для русской основным примером является $SL_2$, а для американской — $E_8$ (фольклорная шутка).

В этом курсе мы познакомимся с представлениями группы $SL_2$ матриц размера 2 с определителем $1$ (т.е., матриц $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ с $ad-bc=1$) и ее алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$, состоящей из матриц размера 2 со следом $0$ (т.е., $a+d=0$). Коэффициенты матриц и представлений будут в начале комплексными, а затем элементами поля $\overline{\mathbb{F}}_p$, алгебраического замыкания поля вычетов $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

Представления группы $SL_2$ и алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$ играют фундаментальную роль в теории представлений алгебраических групп, а также возникают в других областях математики. Случай комплексных коэффициентов классический, он был понят в начале прошлого века. Случай же поля $\overline{\mathbb{F}}_p$ значительно сложнее: для $SL_2$ и $\mathfrak{sl}_2$ все значимые вопросы имеют более или менее простые ответы, но для более сложных групп и алгебр Ли нет ответов даже на базовые вопросы, их изучение — одна из центральных и наиболее горячих тем в теории представлений последних лет.

Курс предназначен для второкурсников и продвинутых и преуспевших в изучении алгебры первокурсников.

Предварительная программа

1. Основные понятия теории представлений. Группа $SL_2$ и ее алгебраические представления. Алгебра Ли $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, ее представления и их связь с представлениями группы $SL_2(\mathbb{C})$. Универсальная обертывающая алгебра $U(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}))$.
2. Модули Верма и базис в $U(\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C}))$. Классификация неприводимых представлений алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2$. Элемент Казимира и полная приводимость представлений.
3. Представления алгебры Ли $\mathfrak{sl}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$. $p$-Центр в универсальной обертывающей алгебре. Классификация неприводимых представлений.
4. От представлений $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ к представлениям $SL_2(\mathbb{C})$.
5. Представления алгебраической группы $SL_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ (насколько останется время).

На обсуждение более сложных групп времени на занятиях не останется, но это можно обсудить в более частном порядке.