Алексей Яковлевич Канель-Белов

Пусть $F\colon \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ — полиномиальное отображение комплексного пространства в себя. Когда оно обратимо? Необходимым условием является локальная обратимость в каждой точке. Знаменитая проблема Якобиана утверждает, что это условие является достаточным. В течение более чем 20 лет, вплоть до 1968 года, проблема Якобиана считалась решённой для $n=2$, с тех пор каждые несколько месяцев появляются новые «доказательства».

С проблемой Якобиана тесно связана гипотеза Диксмье, формулировка которой для $n=1$ выглядит невинно: пусть $P$, $Q$ — многочлены от $x$ и $(d/dx)$, причём $PQ – QP=1$. Верно ли, что $(d/dx)$ можно выразить через $P$ и $Q$. Это утверждение до сих пор не доказано. Недавно удалось доказать эквивалентность этого утверждения проблеме Якобиана для $n=2$. Стабильная эквивалентность гипотезы Якобиана и Диксмье доказана в работе arXiv:math/0512171. Доказательство использует аналогию между классическими и квантовыми объектами. Предполагается дать элементарное объяснение этой аналогии, а также обсудить гипотезы Концевича. Первая часть доклада является введением в проблему и предполагает быть вполне элементарной.

Другое, близкое, утверждение именуется теоремой Абьенкара—Моха и выглядит как олимпиадная задача (каковой и является). Пусть $P$, $Q$, $R$ — многочлены, причём $R(P(x),Q(x))=x$. Доказать, что либо степень $P$ делит степень $Q$, либо наоборот.