В. Ю. Протасов планирует провести 1 занятие.
Доступна видеозапись курса.
Динамическая система с переключениями — это уравнение на функцию $x(t)$, которое можно менять в каждый момент времени, но строго определенным образом. Математики говорят, что мы управляем этим уравнением, а каждое изменение называется переключением. Управление всегда имеет определенную цель: получить траекторию $x(t)$, обладающую нужными свойствами. Например, чтобы она приходила в заданную точку за наименьшее время, или обеспечивала бы максимальное значение некоторой величины. Устойчивость линейной системы означает, что все её траектории ограничены. Как бы мы ни переключали уравнение, траектории не уйдут далеко. Это — одно из определений, есть и другие, с которыми нам предстоит познакомиться.
Устойчивость имеет ключевое значение в приложениях. Каждое нажатие на клавиатуру компьютера — это переключение системы. Устойчивость означает, что при любой последовательности нажатий процессор не сгорит. Устойчивость экологической системы гарантирует природный баланс и т.д. Исследование устойчивости — геометрическая задача. Она сводится (довольно неожиданно) к построению и изучению выпуклых фигур с особыми свойствами. В частности, эллипсоидов, многогранников, и т.д. Это приводит к задачам конечномерной геометрии, которые зачастую имеют простые формулировки, но чрезвычайно сложны для решения.
Мы изложим суть геометрического метода, докажем несколько теорем и рассмотрим много примеров. И конечно, сформулируем открытые проблемы.