Г. Б. Шабат планирует провести 4 занятия.
Доступно 4 видеозаписи курса.
Доступны: записки (ч1), записки (ч2); задачи (ч1), задачи (ч2), задачи (ч3).
Курс начнётся с краткого исторического обзора и уточнения понятия решить уравнение; будут разобраны решения уравнений степеней $\le4$.
Начиная со степени 5, решения общих уравнений с помощью одних только извлечений корней невозможны; будут приведены наброски алгебраического доказательства Абеля—Галуа и топологического доказательства В.И. Арнольда.
В случае степени 5 в игру вступают эллиптические кривые, и извлечение корней 5-й степени, понимаемое как «деление на 5» в мультипликативной группе основного поля, заменяется на изучение точек 5-го порядка на эллиптических кривых. Будут приведены точные формулы. Над полем комплексных чисел в этих формулах и их геометрических интерпретациях будут участвовать детские рисунки и, в частности, икосаэдр, пространство модулей эллиптических кривых и его накрытия, а также минимальная теория простых конечных групп и их спорадических изоморфизмов. Рассказ об эффективных методах решения уравнения 5-й степени будет использовать арифметико-геометрическое среднее Гаусса и цепную дробь Рамануджана.
В конце курса будет кратко рассказано о решении уравнений 6-й степени, об уравнении 7-й степени и выросшей из него 13-й проблеме Гильберта и о трансцендентных формулах для решений уравнений высших степеней.
Первые три лекции будут сопровождаться задачами.
Для понимания основных результатов курса потребует будет достаточно некоторого владения основными понятиями теории конечных групп и знания комплексных чисел; крайне желательно также умение проверять числовые равенства с помощью современных компьютеров.
