А. В. Устинов планирует провести 4 занятия.
Доступно 4 видеозаписи курса.
Доступны задачи.
Начало курса будет посвящено знакомству с эллиптическими кривыми. Затем мы познакомимся с элементарными методами подсчёта точек на эллиптических кривых над конечным полем из $p$ элементов ($p$ — простое). Эта задача сводится к оценке суммы символов Лежандра от значений многочлена третьей степени. Для некоторых многочленов, например, таких как $x^3+ax$ или $x^3+b$, суммы символов Лежандра оцениваются относительно просто. Такие суммы даже имеют свои имена, это суммы Якобшталя и Шрутки. Они позволяют в явном виде строить решения уравнений $p=x^2+y^2$ и $p=x^2+xy+y^2$.
Главный результат, с которым мы познакомимся — это оценка Хассе. Она утверждает, что $N_p$ — число решений сравнения $$y^2\equiv x^3+ax+b\pmod{p }$$ удовлетворяет неравенству $$|N_p-p|\le 2\sqrt{p}.$$ Для доказательства мы используем элементарный подход Манина.