И. В. Вьюгин планирует провести 4 занятия.
Доступно 4 видеозаписи курса.
Доступны: упражнения
Лекции посвящены изучению диофантова уравнения Маркова $$x^2+y^2+z^2=3xyz.$$ Это уравнение, впервые полученное выдающимся российским математиком Андреем Андреевичем Марковым (старшим), нашло множество применений в самых разных областях математики. Оказалось, что множество натуральных решений уравнения Маркова имеет структуру графа-дерева, все натуральные решения могут быть получены друг из друга цепочкой преобразований. Мы докажем это и обсудим применения решений уравнения Маркова к теории приближений действительных чисел рациональными, а также к другим областям математики. Исследование уравнения Маркова породило ряд глубоких результатов и открытых гипотез.
В последнее время большие продвижения были получены в изучении уравнения Маркова $$x^2+y^2+z^2=3xyz \mod p,$$ рассматриваемого как сравнение по простому модулю $p$. До недавнего времени была полностью открытым вопросом гипотеза Ж. Бургейна о том, что все решения сравнения Маркова по простому модулю $p$ получаются как его целые решения, рассмотренные по модулю $p$. Доказательство этой гипотезы для достаточно больших $p$ было опубликовано китайско-американским математиком В. Ченом лишь в прошлом году. Доказательство оказалось чрезвычайно сложным, состоящим из нескольких составных частей, полученных разными математиками.
Мы обсудим идеи, лежащие в основе доказательства гипотезы. Оказывается, что имеет смысл рассматривать по модулю $p$ не только числа Маркова, но и числа Фибоначчи и другие интересные последовательности. Мы также обсудим некоторые свойства самого поля вычетов $\mathbb{Z}_p$. Эти понятия приводят как к решённым, так и к нерешённым задачам.