Никита Сергеевич Калинин

Мы разберём знаменитое доказательство Апери (1978) иррациональности числа $$ζ(3)=∑ 1/n^3.$$ Основная цель — понять механизм доказательства: как из комбинаторных сумм и рекуррентных соотношений строятся очень хорошие рациональные приближения, как появляются нужные целочисленные «линейные формы» и почему они обязаны быть ненулевыми, но стремятся к нулю. Во второй части курса обсудим метод creative telescoping (созидательное телескопирование): как телескопирование по переменной суммирования порождает рекурсии по параметру, и почему этот метод сейчас является стандартным инструментом в символическом суммировании и гипергеометрических тождествах.

План

• Стратегия Апери и ключевая рекурсия. Числа Апери $A_n$, приближения к $ζ(3)$.
• Creative telescoping на примерах и вывод рекурсии Апери из биномиальной суммы.
• Арифметика: контроль знаменателей, $lcm(1,…,n)$, подготовка целочисленного противоречия.
• Оценки и завершение доказательства: интегралы Бёкерса, экспоненциальная малость ошибки, вывод иррациональности.

Пререквизиты

Базовый математический анализ (ряды, интегралы), начальная линейная алгебра. В курсе будут упражнения.