С 2001 года каждое лето проходит Летняя школа «Современная математика» для старшеклассников (окончивших 10 или 11 класс) и младшекурсников. ЛШСМ-2020 должна была пройти с 20 по 31 июля, но оргкомитет был вынужден ее отменить.
Примерно в те же сроки мы организуем серию онлайн-лекций. Формат дает нам возможность пригласить всех желающих, однако уровень занятий достаточно высок — советуем посмотреть видеозаписи лекций ЛШСМ. Продолжительность лекции — примерно час. После каждой лекции — ответы на вопросы и обсуждение.
Лекции читают А. П. Веселов, С. О. Горчинский, Э. Жис (É. Ghys), В. А. Клепцын, А. А. Логунов, В. Ю. Овсиенко, А. Ю. Окуньков, Г. Ю. Панина.
20 июля (пн), 16:00 | доступна видеозапись лекции
Принцип «разделяй и властвуй» хорошо работает не только в большой политике, но и математике и информатике. Мы посмотрим на геометрические задачи о «делении поровну», обслуживающие этот принцип, как классические, так и современные. В рассказе появятся важные математические понятия: класс Эйлера, кривая Веронезе, конфигурационное пространство (что-то явно, что-то неявно).
Для разминки перед лекцией рекомендуется подумать над следующими задачами:
1) всякая плоская фигура может быть разделена двумя прямолинейными разрезами на четыре равные по площади части;
2) не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей.
22 июля (ср), 16:00 | доступны видеозапись и слайды лекции
Многие слушатели наверняка видели картинки множества Мандельброта — и его формальное определение: множество таких $c$, что последовательность, определённая по правилу $z_0=0$, $z_{n+1}=z_n^2+c$, не убегает на бесконечность. А с чем такое определение связано?
Для каждого значения $c$ можно рассмотреть те начальные условия $z_0$, для которых такие итерации не убегают на бесконечность. Они образуют другой фрактал, заполненное множество Жюлиа; оказывается, что $c$ принадлежит множеству Мандельброта тогда и только тогда, когда этот фрактал связен — а не “распадается в пыль”.
Мы посмотрим на то, что можно сказать о множествах Жюлиа, и как они изменяются при изменении параметра — и на те дороги, которые с этих наблюдений начинаются.
25 июля (сб), 17:00 | доступны видеозапись и записки лекции
Речь пойдет о вакуумах, то есть о состояниях, в которых некоторая физическая система может находиться в бесконечном пространстве без каких-либо изменений. Мы увидим, что пустота полна интересной физики и математики, и что многообразие всех возможных вакуумов является очень важным объектом для изучения.
27 июля (пн), 16:00 | доступна видеозапись лекции
In the neighborhood of a singular point, a real analytic curve in the plane consists of a finite number of branches. Each of these branches intersects a small circle around the singular point in two points. Therefore, the local topology is described by a chord diagram: an even number of points on a circle paired two by two. Not all chord diagrams come from a singular point. The main purpose of this talk is to give an complete description of those «analytic» chord diagrams. On our way, we shall meet some interesting concepts from computer science, graph theory.
29 июля (ср), 16:00 | доступны видеозапись и записки лекции
Мы обсудим несколько абсолютно разных физических явлений, которые описываются при помощи одного и того же оператора Лапласа. После того, как мы определим, что такое гармонические функции, мы обсудим теорему Лиувилля и несколько связанных утверждений, которые совсем недавно вызывали у докладчика ощущение обмана.
31 июля (пт), 16:00 | доступна видеозапись лекции
С древнейших времен люди хотели понять, как устроены решения систем полиномиальных уравнений в целых числах. Много позже было открыто, что для этого удобно смотреть на некоторые векторные пространства с действием на них линейных операторов. Частный случай таких пространств — модуль Тейта, построенный по точкам конечного порядка на эллиптической кривой. Свойства этих векторных пространств с операторами связаны с рядом ключевых вопросов современной арифметической геометрии: гипотезы о весах Фробениуса, модулярность, гипотезы типа Сато-Тейта, соответствие Ленглендса. В последнее время во всех этих направлениях был получен впечатляющий прогресс, благодаря созданной Петером Шольце теории перфектоидов и ее дальнейшему развитию.
Мы попытаемся рассказать об этом “на пальцах”.
32 июля (сб), 16:00 | видеозапись: часть 1 и часть 2
Хорошо известно, что обычные цепные дроби полезны для рациональных приближений действительных чисел, и что периодические цепные дроби — это в точности квадратичные иррациональности. Оказывается, что аналоги цепных дробей над кольцом полиномов от одной переменной полезны для описания эллиптических интегралов, берущихся в элементарных функциях. Об этих замечательных результатах Абеля и Чебышева будет рассказано в первой части лекции.
Во второй части будет рассказано о новой версии подобных цепных дробей, возникшей недавно в связи с комбинаторикой и кластерными алгебрами. Эта новая версия оказалась связанной также с теорией узлов и легла в основу понятия «квантовых» или «q-деформированных» чисел.