Валерий Долотин

"Школьное обозрение", N2, 2000

Математика — наука созерцательная

Кого увидят на троне "королевы наук" школьники XXI века

Парадоксальное прошлое

Уходящий век не был простым для математики. Начало его отмечено публикацией парадоксов теории множеств. "Деревенский брадобрей обслуживает тех и только тех жителей, кто не бреется сам. Бреет ли он сам себя?" Безобидное на вид условие, оказывается, содержит основания как для положительного, так и для отрицательного ответа на вопрос. А если построить подобную фразу уже не в житейском контексте, а применительно к математическим объектам? А если такие формулировки уже закрались в строгие математические тексты, и близится момент, когда на один вопрос в двух разных статьях будут даны строго обоснованные противоположные ответы? Для профессиональных ревнителей точности это ощущение уходящей из-под ног опоры сравнимо разве что с леденящей душу фантазией на тему ядерной катастрофы.

Так произошло первое ощутимое соприкосновение математики с лингвистикой. Контакт оказался столь плотным (а затем и плодотворным), что теперь посвятившие жизнь математике исследователи запросто могут рекомендовать общественности это занятие как разновидность лингвистической деятельности, студенты уже на первом курсе делают успокоительное для себя открытие, что "математика — это язык", а в школе становится модным матема-тико-лингвистический уклон.

А в начале века даже Гильберт не остался равнодушен к тревогам коллег и в финале своей деятельности инициировал программу тщательной ревизии оснований математики. Ему суждено было остановиться на фундаментальном труде по логике. Но высочайшее благословение было получено, и математика сделалась официальным полигоном для людей, склонных к выстраиванию цепочек из логически непротиворечивых фраз. Стала возможной публикация книг (и даже многотомных серий), из которых нельзя научиться решительно ничему, кроме некоего оруэлловского "новояза". Понятность книги (то есть возможность сопоставить текст с объектами, свойства которых он описывает) более не является обязательным требованием, а пытающимся усомниться в ценности публикации предлагается первым делом указать в ней логическую ошибку.

Абсурдность ситуации можно сравнить разве что с исполнением музыки, в которой главным достоинством считается чистота тона. Слова получили права самой действительности, перестав быть средством ее отражения. Конечно, библейская первичность слова характерна не только для математики — это общая беда нашего восприятия. Но математика, среди прочих естественных наук, оказалась здесь наименее защищенной. Дело в том, что сами объекты математических исследований традиционно размещаются на бумаге и во многом подобны тексту или, как в случае евклидовой геометрии, могут быть текстом описаны. Поэтому порой затруднительно отделить такое описание от оригинала.

Двойственное настоящее

Но, к счастью, этот век сохранил ростки для будущего процветания, поскольку и сейчас урок математики делится на две четко различимые части:

разговорную и деятельную. В первой части ученику сообщается набор предложений, называемых определениями, которые подлежат заучиванию. В результате заучивания вырабатывается условный рефлекс, когда звук вопроса, например "что называется параллелепипедом?", вызывает у ученика ответную реакцию произнесения определения. Этот навык очень удобен для учителя, поскольку, сравнив звучание определения с его написанием в тексте учебника, он может по количеству совпадений четко и при необходимости аргументирование оценить, в какой степени ученик овладел математикой.

Совершенно незаменим такой способ оценки на устном экзамене, где судьбоносное решение требуется вынести за 15 минут ответа. Некоторым неудобством здесь является то, что замена или перестановка слов в вопросе (в приведенном примере, скажем, "что такое параллелепипед?") может и подготовленного ученика повергнуть в глубокое раздумье и даже шок. Но здесь уже все зависит от профессионализма самого учителя, который не позволит себе нечеткости в постановке вопроса. Через несколько лет обучения разговорная часть урока становится привычной, а затем и желанной для самих учеников: они узнают твердую цену, за которую смогут стать отличниками или хорошистами и уже будут уверенно требовать "кусочек сахара" за очередной кульбит с вызубриванием десятка определений.

Усложненным элементом первой части урока является просьба "доказать, что...". Это сигнал уже не для воспроизведения куска текста, а для комбинирования разрозненных кусков с целью получить в конце то, что стояло в просьбе после союза "что". То есть ученику неявно сообщается, что некто каким-то путем установил верность "того, что...", и предлагается методом проб и ошибок восстановить этот путь. Несмотря на всю претензию на серьезность, такая деятельность является не более чем перевернутой с ног на голову математикой. В жизни (работе) никто и никогда не сообщает заранее известного ответа и истинность утверждения человек обнаруживает не раньше, чем мелкими кропотливыми шажками нащупает один из ведущих к нему путей.

Проблемы начинаются в той части, где звучит старомодный вопрос "сколько?". Вот на эту непростую часть и хочется надеяться в XXI веке. Здесь ученику наконец-то предстоит увидеть объекты, о свойствах которых он столько слышал или говорил в теоретической части урока. И эти объекты вовсе не имеют форму яблок или велосипедистов, в которую их часто облачают педагоги, пытающиеся убожество живописи скрасить роскошью рамы. Вид их может показаться неожиданным и порой не соответствующим звучным определениям и загадочным аксиомам. Но в XXI веке, и уж наверняка в 3-м тысячелетии, эти объекты получат наконец в школе права, равные правам атомов физики или клеток биологии.

Примером такой легализации является евклидова геометрия. Заметим, что данный раздел школьной математики не использует подставных вспомогательных предметов для привлечения внимания ученика, при этом геометрическую задачу может признать красивой даже человек, в математике неискушенный. Одновременно заметим, что раздел этот является наиболее древним и продуманным.

Светлое будущее

Почему внимание слушателя без напряжения часами удерживается музыкой Баха, а незнакомый математический сюжет перестают воспринимать уже через 10-15 минут как школьники, так и специалисты на научном семинаре? Ведь удаленность от обыденного восприятия у классической музыки ничуть не меньше, чем у математических теорем. Надо полагать, что беда математики не в присущей сухости и отвлеченности, а в трудности нахождения адекватного жизнеспособного описания изучаемых объектов. Но коль скоро такой "инструмент для исполнения математики" найден (как в случае с геометрией), она может стать доступной и привлекательной для обывателя. А сейчас математика остается упоительным искусством для избранных специалистов, каждому из которых удалось озвучить ее внутри самого себя и так нелегко передать это звучание другому.

Нынешняя форма изложения в большой степени сводится к использованию буквенных формул. Эта система обозначений в свое время сыграла революционно прогрессивную роль, но для современных математических конструкций становится неоправданно громоздкой. В живой профессиональной математике прочно утвердился язык диаграмм (сравните, насколько убедительнее выглядит диаграмма Х—>У по сравнению с привычной формулой у=f(х)), а в последнее время бурно развивается комбинаторика на языке графов. Нет сомнения, что смена выразительных средств произойдет и в школе.

Но и при удачном выборе "инструмента" остается вопрос об исполнителе. Здесь можно бы повторить вечную фразу о незаменимости личности учителя, но давайте смиримся с тем, что процент хороших учителей никогда не будет больше, чем процент хороших писателей, хороших ремесленников или вообще способных людей. И ситуация вряд ли изменится с повышением зарплаты, ибо когда зарплата становится выше, то сильнее становится и стремление бездарностей занять соответствующие места, что они и делают в заданной самой природой пропорции. Представим себе, что спецшколы уже сняли сливки с общей массы преподавателей, родители уплатили посильные деньги и употребили имевшиеся связи, чтобы детей своих в эти школы определить, а оставшееся время потратили на хождение по экзаменам и собеседованиям. Образовались и процветают школы-оазисы, в которые хочется ходить, где любят свою работу и детей и пользуются взаимностью. Но не думаю, что их доля существенно возрастет в обозреваемом нами будущем. Поэтому большинству талантливых учеников суждено общаться с большинством учителей слабых, и давайте думать, как можно помочь такому учителю не навредить своему ученику.

XX век дал людям способ наслаждаться хорошей музыкой, не покупая билет на концерт и не приглашая музыкантов в дом. Чтобы слушать пение Шаляпина, более не нужно быть его современником. Но возможно ли в образовании отделить знание от передающего субъекта? Первые шаги на этом пути были сделаны с изобретением письменности и книгопечатания. Компьютер — шаг следующий, не менее значительный. Вряд ли даже убежденного ревнителя роли личности шокирует мнение, что можно чему-то научиться по хорошей книге. А здесь мы снова вспомним об уязвимости математики перед формализацией, ее тяготении к языковой форме. Ничто пока не может заменить микроскоп на уроке биологии или эбонитовую палочку на физике. И до тех пор роль держащего эти предметы в умелых руках учителя пребудет в веках. Математика же как будто создана для "переложения" на компьютер. Занятия математикой в хорошем смысле слова — это искусство выбирать правильный вопрос из обозримого множества. Именно последовательность таких вопросов и составляет каркас математической работы. Невозможно написать руководство, обучающее художника подбирать краски и строить композицию — число вариантов здесь неисчерпаемо велико. Умение же ставить вопросы о данном математическом объекте (например, треугольнике) сродни умению складывать детали конструктора. Всегда можно объяснить, почему деталь поставлена именно так, а не иначе, а значит, компьютерная программа, занимающаяся перебором вариантов, сможет стать своеобразным фонографом, адекватно воспроизводящим действия талантливого преподавателя, т.е. сможет играть роль инструктора.

Но в математических занятиях не обойтись и без получения ответов. Отзвучали самые дурные пророчества, и даже самые непримиримые смирились с тем, что вычисления "в столбик" отступили на уроке перед кнопками калькуляторов. Как ни тяжело, но математикам пришлось расстаться с искусством арифметического счета, равно как преподавателям языка вскоре предстоит расстаться с чистописанием, на смену которому идет десятипальцевый метод набора на компьютерной клавиатуре. Можно пытаться повернуть время вспять, но если отвлечься от высокопарных фраз о сохранении общей культуры, можно заметить, что за таким развитием событий стоит грядущее разделение труда в математике. Появление на партах калькуляторов — лишь свидетельство присутствия двух реально различных типов математической деятельности. Это различие лежит примерно там же, где в будущем установится граница между сферами деятельности человека и компьютера.

Первая — деятельность ассоциативная, или аналоговая, когда человек принимает решения на основе всего комплекса своих впечатлений. Мотивы таких решений зачастую не объяснимы словами, человек полагается на свое ощущение гармонии. Компьютерная сфера есть деятельность последовательная, это получение по заданным правилам следствий из фиксированного набора исходных данных. Да, да, как это ни печально для рыцарей аксиоматической (или "лингвистической") математики, но на смену их титаническим усилиям по перебору логических сентенций придет мерная работа электронных устройств. Но высоким уделом человека навсегда останется выбор направления и правил движения, т.е. постановка вопроса. Поэтому урок математики должен стать компьютерной лабораторией, где ученику будет дана возможность понаблюдать за математическими объектами. Ну а при попытке экономно описать результаты своих наблюдений он поймет, что же на самом деле представляют из себя "абстрактные" математические тексты.

А пока место компьютера в школе только определяется, и в новом веке нам предстоит перенести болезни переходного периода. Один из симптомов — тесты. Идею объективизации знаний бездарные педагоги истолковали, как всегда, по-своему. Чтобы составить качественные компьютерные учебные материалы, выравнивающие возможности доступа учеников к лучшим образцам преподавания, нужно еще очень и очень постараться. А вот чтобы уравнять спрос с учеников и избавить себя от неприятной необходимости неумелого общения, достаточно составить тест. Прежде письменный экзамен состоял из нескольких задач, на которые отводилось несколько часов. Конечно, три часа — это безнадежно мало, особенно для тех учеников "со странностями", которые не привыкли отмерять себе время на размышления по секундомеру. Но теперь, если обратиться к опыту развитых в тестовом отношении стран, экзамен — это один час и несколько десятков вопросов. Завораживающе простым становится критерий оценки — нужно лишь сосчитать количество совпадающих крестиков, а если тест получается слишком легким — накинуть еще десяток бессодержательных вопросов, что поставит в затруднительное положение даже самых сообразительных. И уже не хочется помнить о том, что в условиях цейтнота каждый крестик — это подавленный в ученике естественный протест против выдачи непродуманного ответа. Выиграет тот, кто сможет вовремя заставить себя перестать думать.

Пока Запад развивал идеи всеобщего тестового равенства, наше математическое образование оставалось лучшим в мире, но, к сожалению, призывы не искать добра от добра бессильны, когда речь идет о возможности завоевать новую нишу в образовании, а значит, и в государственном финансировании. Всеобщее тестирование пахнет большими деньгами, а этот запах придает тестам пикантность даже в глазах здравомыслящих специалистов. Можно лишь надеяться, что алчущие стать сильными мира сего в новом веке оставят "равную возможность" сдать старомодный экзамен и для тех тугодумов, которые предпочитают на совесть исследовать один вопрос, нежели десять раз ответить наугад.