# 9 (34) 18 октября 2000 г.

Самое необходимое для сегодняшней России вложение в человеческий капитал - это подготовка действительно высококлассных математических кадров

Нынешний год был объявлен ЮНЕСКО годом математики. По всему миру проходили крупные международные форумы, на которых обсуждались проблемы и перспективы развития математического знания в XXI веке. Не стала исключением и наша страна. В конце прошлого месяца в Дубне прошла Всероссийская конференция, посвященная математическому образованию в следующем столетии. Решили внести свой скромный вклад в развитие этой проблематики и мы. В течение года в приложении "НГ-наука" два раза выходили специализированные полосы "Математика" (см. "НГ-наука" # 3 от 22 марта 2000 г. и # 7 от 19 июля 2000 г.). Если кто-то думает, что это чрезвычайно отвлеченная от нашей суровой реальности тема, - глубоко ошибается, фатально ошибается. Подтверждений чему можно найти в избытке в публикуемом сегодня отчете о заседании "круглого стола" "Математическое образование в XXI веке", состоявшемся в редакции "НГ". В его работе принимали участие крупнейшие отечественные ученые, специалисты в области математического образования: Владимир Михайлович Тихомиров - профессор МГУ имени М.В. Ломоносова; Евгений Абрамович Бунимович - вице-президент Российской ассоциации учителей математики, заслуженный учитель РФ, депутат Московской городской Думы; Виктор Меерович Полтерович - член-корреспондент РАН, доктор экономических наук, заведующий лабораторией Центрального экономико-математического института РАН, профессор Российской экономической школы; Дмитрий Семенович Шмерлинг - профессор Высшей школы экономики, начальник Информационно-аналитического отдела фонда ИНДЕМ; Игорь Федорович Шарыгин - заведующий лабораторией "Геометрия" Московского центра непрерывного математического образования, член исполкома Международной комиссии по математическому образованию (ES ICMI), автор ряда школьных учебников по математике; Иван Валериевич Ященко - директор Московского центра непрерывного математического образования, заведующий кафедрой математики НИПИРО, учитель математики школы # 57; Николай Петрович Долбилин - старший научный сотрудник Математического института РАН, доцент МГУ имени М.В. Ломоносова; Александр Михайлович Абрамов - член-корреспондент Российской академии образования, директор Московского института развития образовательных систем. Ведущий "круглого стола" Андрей Геннадьевич Ваганов, ответственный редактор приложения "НГ-наука". К сожалению, не смог принять участие в работе "круглого стола" один из крупнейших математиков современности, академик Владимир Игоревич Арнольд. Однако он специально передал в письменной форме свои соображения по заявленной теме. Его статью "Нужна ли в школе математика?" мы публикуем в качестве специального приложения к материалам "круглого стола".

Андрей Ваганов: Позвольте мне, уважаемые участники нашей сегодняшней встречи, начать с наивного вопроса, который, я думаю, так или иначе мучает немало людей. Ну, может быть, не то чтобы мучает, но иногда всплывает в сознании. Математические знания - то, что преподается в школах, в институтах, в университетах - на ваш взгляд, они доступны для восприятия любым человеком или для этого все-таки нужен особый талант, как музыкальный слух, например?

И сразу же, в связи с этим же вопросом, естественное его продолжение: каков должен быть математический минимум образованного, культурного человека, но не математика? В этом смысле мне нравится высказывание Ломоносова: - "Математику уж затем нужно учить, что она мозги в порядок приводит".

Итак, какова должна быть цель математического образования, скажем, в школе? Кто начнет?

Игорь Шарыгин: Да что мы все о каком-то минимуме! Наверное, это было бы неправильно. Я напомню слова Бэкона: "Человек, не знающий математики, не способен ни к какой другой науке". Не способен в силу своего невежества. Мне кажется, что если мы говорим о математическом образовании в XXI веке, то здесь знания, может быть, являются не самым важным элементом, не самой главной целью. Целью математики является не получение знания, а сам процесс обучения. Он необходим, для того чтобы создать нормального человека. Главной задачей математического образования в будущем, скажем, будет не получение каких-то знаний, а именно забота о здоровье будущих поколений. Забота об их здоровье: психологическом, физическом и т.д. Это первое. Может быть, самое главное.

Второй момент. Мы задаемся вопросом о том, может ли освоить нужный объем знаний любой человек? И что для этого нужно? Написать соответствующие учебники, нужные, правильные, чтобы они не тяготили его, не обедняли. Нужны правильные методики... А то мучаем человека, ребенка, мучаем какой-то страшной математикой. Математика - это некоторый продукт, который нужно правильно приготовить.

Евгений Бунимович: Мне показалось достаточно точным, может быть даже не привычно, нарочито само сравнение с музыкальной культурой. Считалось в СССР и считается сейчас, что оба эти образования - музыкальное и математическое - даются у нас в стране на высоком уровне. Но вот у меня был такой опыт.

Мой сын, когда ему было четыре года, имел абсолютный слух. Он прошел все конкурсы и поступил в музыкальную школу. (У нас с женой нет никакого слуха). И, вроде бы, все шло успешно. Но чем дальше, тем больше я видел, что, вместо того чтобы формировать любовь к музыке и любителя музыки, - что было бы естественно, да? - у него стали формировать нечто совсем другое. Раньше музыкальные школы формировали либо музыканта-профессионала с мощным тренажем, либо ребенок был им неинтересен.

Я боюсь, что похожие вещи происходят с математическим образованием, которое всегда, традиционно, считалось поставленным у нас на высоком уровне. Но высокий уровень, он определяется лучшими, теми, у кого высокая планка. Те, кто эту планку преодолевают, - вот это действительно очень сильные математики. Но одновременно у многих детей воспитывается, - так же, как на уроках музыки, - ненависть к математике. У тех детей, для которых было бы достаточно развивать просто любовь к музыке или к математике. У тех, кто не мог преодолеть той самой высокой планки, воспитывается или ужас, или оторопь на всю жизнь перед математикой...

Наверное, множество читателей, в том числе и "Независимой газеты", с ужасом вспоминают все контрольные по математике. Потому что тот математический тренаж, он любви к математике ни в коей мере не формировал, не способствовал ей.

Я убежден, что цель вообще образования, и математического в том числе, - формирование нормального человека. Я согласен с Игорем Федоровичем. А если говорить в социальном смысле, то это - актуальная проблема формирования будущего грамотного электората. Огрубляя, я убежден, что математика нужна, ну хотя бы для того, чтобы человеку нельзя было навешать на уши лапшу. Чтобы он умел усомниться, чтобы он умел отличать доказательство от недоказательства. Нужны именно не столько математические знания как таковые - 30-40 формул тригонометрии, - сколько сам математический слух. Такой же, как слух музыкальный и т.д., который можно развить в какой-то степени у любого человека. И мне кажется, что ключевой вопрос для современного российского образования - математика для нематематика.

Если сравнивать со спортом, то это так же точно, как победы на Олимпийских играх советской сборной, которые не очень точно давали представление о здоровье нации. Скажем, средняя продолжительность жизни говорит больше, чем победы советской сборной. Так же точно наша элитная математика, ее победы и ее блестящий уровень - это еще не значит, что в России все благополучно со здоровьем математическим.

Виктор Полтерович: Я совершенно согласен с тем, что основное в изучении математики - это привить культуру мышления тем, кто математику изучает. И в этом смысле математика не слишком сильно отличается от других дисциплин. Умение прослеживать логические цепочки - вот главное, что дает изучение любой науки, в том числе и математики.

Поскольку были здесь высказывания о том, что нужна ориентация на массовое изучение математики, что элитная математика не дает представления об истинном уровне, я бы хотел сказать несколько слов в защиту элитной математики.

Дело в том, что если у нас не будет элитных математических школ, если у нас не будет системы отбора действительно талантливых ребят - у нас не будет и сильной математики, а значит, не будет возможности для того, чтобы правильно преподавать математику и в институтах, и в школах. Потому что именно выдающиеся люди определяют общий уровень и общую атмосферу в обучении. В этом смысле бывшая советская математическая школа действительно на очень высоком математическом уровне находится. Это колоссальное было достижение, которое, к сожалению, понемножку теряется сейчас. Элитные школы еще работают, сохраняются, но мне кажется очень неверным, очень печальным то обстоятельство, что для элитных математических школ в широком смысле и образовательных школ, научных школ у нас остается все меньше возможностей.

Кстати говоря, очень серьезная проблема, связанная с этим, - утечка мозгов. И любой математик знает, сколько много мы сейчас потеряли из-за утечки мозгов. Целые математические научные школы, постоянно действующие математические семинары исчезли или почти исчезли - из России переместились в западные центры. Сохранить у нас тот уровень математического образования, который сложился у нас к 90-м годам, будет чрезвычайно трудно, если не невозможно.

Евгений Бунимович: Можно вопрос: а почему нужен жесткий отбор? В чем виноваты люди, которые хотят заниматься математикой? Почему нужно жестко отбирать?

Виктор Полтерович: Я говорю специально об элитных школах. Жестко отбирать нужно именно для тех учреждений, которые нацелены на высокий уровень математического образования. Так же, как в музыке┘ Вы же сравнивали математическое образование с музыкальным, я думаю, можно продолжить эту аналогию. В музыке есть жесткий отбор, потому что не все обладают физиологическими данными и наследственными качествами, которые бы позволяли достигать высоких результатов. То же самое и в математике. Я стал говорить об элитной математике именно потому, что у предыдущих ораторов был определенный акцент...

Андрей Ваганов: Но, согласитесь, было бы неплохо, если бы каждый человек имел возможность, извините за сравнение, брать хотя бы блатные аккорды на гитаре.

Виктор Полтерович: С этим я абсолютно согласен.

Евгений Бунимович: Это было бы важно для элитной математики.

Иван Ященко: Действительно, видимо существуют два связанных, но все же два разных вопроса. Первый - это образование, подготовка, поиск будущих математиков, работа с ними в элитных школах. И то, что называется - математика для всех. Эти вопросы связаны, но на самом деле они сильно разнятся. Может быть, много проблем возникало у нас в стране от того, что эти вопросы в каком-то смысле смешивались.

Программа для специализированных классов была на самом деле не очень сильно далека от программы для обычных классов. Да, она была серьезнее, но, в общем-то, все это вместе было нацелено на подготовку в вуз. (И это, кстати, еще одна проблема, которую мы тоже должны обозначить). Поэтому на самом деле с элитной школьной математикой у нас все не так плохо. Пока еще школы держатся. Но тут есть еще одна проблема.

Мне кажется, математическое образование в элитной математической школе, оно еще является средством и, может быть, даже в первую очередь, - по крайней мере для меня, когда я сам прихожу в класс, специализированный, математический класс, там отобраны ребята по конкурсу 15 человек на место, - для меня математика это не сама цель, а прежде всего средство. Вот эти математические дети, это дети, с которыми я могу выйти на связь через математику.

Я никогда не преподавал и не учился в музыкальной школе, но мне кажется, что в хорошей музыкальной школе музыка - это не только сама цель, но еще и средство духовного воспитания человека. Я для своих учеников являюсь авторитетом, и в чисто человеческом, но и через математику тоже. Поэтому я им говорю: "Я хочу с помощью математики воспитать из вас хороших людей". И вот это на самом деле главное. И вот этим, как мне кажется, в первую очередь славились ведущие математические школы. То есть математика являлась средством как человеческого, так и в смысле математической культуры, воспитания.

Что касается обычной школы, то мне кажется, нужно очень сильно снизить формальную планку, то, что там говорили - знание, умение, навык. Основное - дать возможности человеку самому порассуждать, получать навыки.

Вот тут-то мы сразу упремся в проблему, которую непонятно, как решать, и для этого нужна какая-то серьезная воля, серьезные действия - это вступительные экзамены в вузы. Ведь у нас выросла отдельная "докторская" математика, паразитическая, которой в мире нигде и нет. Это математика вступительных экзаменов. Со своими классиками, со своими трудами, книгами, большим количеством литературы. Со своими экономическими источниками существования... Огромные средства там вертятся, естественно, эта отрасль прогрессирует. Отрасль совершенно тупиковая. Это как некоторая игра: все знают, что нам надо порешать тригонометрические уравнения с параметром один раз в жизни - на вступительном экзамене, больше никогда в жизни мы их решать не будем... Впрочем, может быть, меня поправят...

Игорь Шарыгин: Не кажется ли вам, что вы в своей школе больше готовите кадры для Америки, чем для России? Хотя я и понимаю, что этот вопрос и повисает в воздухе┘

Иван Ященко: Я надеюсь, что это не так.

Евгений Бунимович: А почему он повисает в воздухе? Я тоже преподаю в математическом классе и хочу сказать, что мы должны решать проблемы либо внутри математического образования, либо проблемы России в целом. Дело в том, что проблемы утечки мозгов не имеют отношения к тому, что как бы Иван добросовестно ни воспитывал из своих учеников прекрасных людей, но реальна невостребованность и невозможность себя реализовать. Я хотел бы, чтобы мы не обвиняли ни тех, кто остается, ни тех, кто уезжает.

У нас все время говорят, что мало платят, потому что производят некачественный товар. Я считаю, что Россия производит вполне качественный товар, и не проблема ни этих детей, ни этих подростков, которых мы выпускаем, что они невостребованы. Думаю, что если, не дай бог, ни какие-нибудь бойни, войны, то с ними все будет в порядке. Потому что у них прекрасные головы, они прекрасно могут реализоваться в этой жизни. Жизненная проблема заключается в том, что востребует ли Россия их головы. Десять лет назад они сидели в киосках и продавали ширпотреб; сейчас они сидят в банках и стали менеджерами. Человек, прошедший хорошую математическую школу, может заниматься чем угодно. Но их невостребованность - она гнетет их. Они и там, в Америке, не являются счастливыми, потому что их научили большему. Их научили иначе. Понимаете в чем дело? Здесь вопрос к России, здесь вопрос к нам - востребованы ли они. Почему такие головы не востребованы здесь? Почему они здесь неадекватны?

Александр Абрамов: Со многим из того, что здесь было произнесено, я согласен. Но я хочу вернуться к вопросу, который был поставлен в самом начале нашей беседы. Хотел бы придать ему немного другую форму.

Так как получилось, что в 2000 году мы обсуждаем действительно смену целей, стратегическую смену целей математического образования. Старая цель - поступление в вуз, кадры для страны, будущие инженеры... Вот была цель. Сегодня мы фактически все договорились, что в этом самом XXI веке цель должна быть другая. Цель школьного курса математики - внести тот вклад в развитие личности, который способна внести только математика. Причем математика играет уникальную роль.

Я бы здесь выделил ряд вещей, которые мне кажутся действительно важными. И это связано, между прочим, со многими бедами страны: я сильно подозреваю, что наших политиков плохо учили математике. Это проявляется и в смысле анализа ситуации, и в том обстоятельстве, чисто нравственном, что математик - это человек, который сам себя обманывать не будет. Действительно, это совершенно исключено. И многое - и культура работы с понятиями, и внимание к тексту - в математике дает для общего развития.

Но есть и вторая цель, которая не уйдет, которая всегда будет в людях, которые захотят заниматься математикой. Родина действительно нуждается в хороших математиках. Вот эта цель - создание возможностей в стране для того, чтобы человек, который увлекся математикой, мог чувствовать себя комфортно и мог развиваться достаточно неограниченно - вот эту цель мы тоже не должны забыть.

За этим стоит большая работа. Здесь речь идет о новой математике, новой школьной математике, которая сегодня отсутствует. Те учебники и вообще тот стиль, которые мы имеем, - сохранение старой схемы. Мы часто гордимся тем, что мы имеем самое лучшее в мире математическое образование. В этом много правды. Но давайте посмотрим с другой стороны: у 70% выпускников школ мы воспитывали стойкую ненависть к математике. Это очень распространенное явление - стойкая ненависть к математике. При том, что я очень высоко оцениваю опыт, накопленный Россией в ХХ веке по подготовке будущих математиков, опыт по развитию интересов и способностей и доведение до высших орбит. Но я думаю, что здесь у нас много и больших проблем, на которые мы не обращаем внимание.

Мы научились воспитывать спринтерское мышление. Если же проанализировать итоги нескольких сотен победителей международных математических олимпиад, то окажется, что из них получилось больших ученых не так много. Мы научились готовить спортсменов. Но всерьез не решали другую проблему - проблему развития у ребят, начиная достаточно с раннего, 14-15 лет, может быть и раньше, тех качеств, которые бы позволяли им стать серьезными математиками. Как раз всемирно известные люди - они как-то обходились без участия в олимпиадах.

Николай Долбилин: Я согласен с формулировкой о том, что математика голову приводит в порядок или что-то в этом роде. У меня еще есть цитата из Платона, когда он в своем трактате описывал принципы построения государства и говорил о том, что рассматривал математику в ее четырех областях, ветвях: арифметика, геометрия, стереометрия, астрономия. И он находил занятия математикой как средство приведения ума в порядок, и особенно полезно это было для тех, кому предстояло управлять его идеальным государством. К сожалению, действительно, математическое образование в нашей стране, хотя и находится на относительно высоком уровне, тем не менее почему-то управляют государством люди, которые мало знают математику, и, в общем, не очень грамотные люди. Я слышал, что наши экономисты, например, не могут на равных говорить со специалистами западных стран.

Я интересовался, спрашивал у профессоров математики из американских университетов: ну хорошо, а почему у вас, где математика на очень низком уровне, тем не менее с управлением государством все более или менее в ажуре? И вот что услышал в ответ.

Первый момент. Управляют государством, как правило, очень образованные люди, закончившие привилегированные школы и университеты. Второе. Да, у них математика очень слабая, но зато у них очень сильная подготовка по социальным предметам. Ученики американских школ изучают и знают конституцию США, они изучают по-настоящему социальные дисциплины. Вот как раз Евгений Бунимович здесь сказал, что математика нужна для того, чтобы электорату лапшу на уши не вешали, но это можно делать, кстати, не только посредством изучения математики. Вот американцы, между прочим, воспитывают свой будущий электорат на специальных дисциплинах, но они тем не менее очень заботятся и о своих математических кадрах. Они, к нашему сожалению, могут скупать наши кадры.

Андрей Ваганов: И Евгений Абрамович, и Александр Михайлович, по-моему, принципиально важную мысль подчеркнули. Раньше математика для чего была нужна - тренаж, для того чтобы пополнить кадры ВПК. В этой связи возникает вопрос: а какие сейчас может ставить задачи государство перед математическим образованием? Как в связи с этим будет обратная связь устанавливаться: видимо, общество будет каким-то образом воздействовать на приоритетные направления в математике?

На ваш взгляд, какие здесь тенденции могут быть?

Владимир Тихомиров: Я только что вернулся из Испании, где проводил "круглый стол", посвященный математическому образованию. Это было интересное действо. Один и тот же вопрос "зачем нужна математика?" я задавал в трех видах своим коллегам и с Запада, и из России. Предположим, моя внучка меня спросит или твой сын, или твой друг - зачем ему нужно математическое образование? Я считаю, что каждый из присутствующих здесь и вообще каждый человек, который занимается математическим образованием, должен по этому поводу что-то сказать. Это первое. Второе. Я спрашивал американку: предположим, ты гуляешь около Белого дома и случайно встречаешь Клинтона. Он говорит: послушай я совершенно не понимаю: зачем нужна Америке математика, зачем я должен какие-то деньги вкладывать, математику развивать? Третий вопрос - представителям международных организаций, в частности Европейского математического конгресса: зачем нужно математическое образование?

Я раздавал соответствующие анкетки - в чем цель математического образования: в развитии, в том, чтобы подготовить человека к будущей профессии, в развитии личности┘ Все русские на первое место поставили развитие личности. Американцы сказали - математическое образование нужно для будущей профессии. Здесь было очень сильное разделение.

Мы здесь, в России, все-таки учим людей мыслить. Это было наше основное преимущество. Цель математики, как представлялось, развить человеческое мышление, ставить перед человеком трудные проблемы, понимать, в чем состоит проблема. Для американцев, наоборот, нет доказательства, они учат только рецептами, но не доказательствами. Чуть-чуть посложнее, и они сразу отказываются...

Подготовка к будущей профессии - это, конечно, весьма важно, но надо иметь в виду, что математика, по существу, это не конкретные знания, а система мышления. И это принципиально важно в любой профессии. Вот Виктор Меерович Полтерович, мы с ним много лет знакомы - какое у вас первое образование?

- Нефтяной институт...

-...а потом - математический факультет. Это был период исключительно расцвета того, что называется инженерным потоком. Масса людей, причем получивших уже профессию, уже обремененных семьей, почувствовали, что им не хватает математики. И огромное количество людей сменили свою первоначальную профессию, стали заниматься вещами радикально другими, которым их никто не учил. Вот в этом есть некоторая определенная замечательная тайна.

Чтобы я ответил, если бы меня спросил наш премьер Михаил Касьянов, зачем нужно математическое образование? Я бы ему сказал, что в нашем государстве нужны очень глубоко мыслящие люди, способные разрешать труднейшие проблемы, которые стоят перед нашей страной. Очень хороший способ таких людей найти - искать среди математиков.

Самым мудрым человеком, с которыми я встречался в жизни, был Иван Георгиевич Петровский (выдающийся советский математик, академик, ректор МГУ в 1952-1974 гг. - Ред.). К нему обратились в 1952 году, при жизни нашего великого вождя. Великий вождь хотел создать великую бомбу, он спросил: что для этого нужно? Нужно было создать новую вычислительную технику, космическую навигацию и проч. И обратились к Петровскому: как таких людей найти, откуда они вообще возьмутся. И Петровский сказал: возьмите студентов мехмата, возьмите людей, которые только что закончили мехмат. На мехмате не учили прикладным задачам; учили чему-то - не совсем даже ясно чему┘ Но, главное, их учили мыслить. И это дало возможность огромной массе людей выполнить те задания, которые перед ними стояли. Это результат работы первоклассных университетов. В России их было 4 или 5: Москва, Ленинград, Харьков, Киев. Потом создали в Новосибирске... И вот такое классное универсальное образование, когда человека учат понимать суть дела и разбираться в нем, это и привело к тому, что огромное количество важнейших задач удалось решить.

И третий аспект - зачем математическое образование нужно для человеческой цивилизации... Среди вещей, которые необходимы сейчас людям, - придумать хотя бы модель, при которой человечество будет существовать. Это требует огромного количества интеллектуальной силы. Для этого нужно элитарное, возвышенное образование. Без математики оно невозможно.

Вот три структуры образования. Вот как бы я мыслил структуру самого образования, из каких частей оно состоит, из каких фрагментов, каким принципам оно должно удовлетворять.

Андрей Ваганов: Это все замечательно, я разделяю ваше мнение. Вот вы рассказали, как с помощью математики были решены очень серьезные проблемы, в том числе народнохозяйственные, не математические. Но как так получилось, что сегодня мы собрались здесь, чтобы обсуждать проблему преодоления кризиса преподавания математики? Все шло нормально, и вдруг мы говорим об этом кризисе. Мне, например, со стороны не очень понятно, в чем проявляется этот кризис преподавания.

Евгений Бунимович: Пусть лучше будет кризис, чем идея о том, что нам нужна бомба, чтобы поразить Вашингтон... Я хочу сказать, что, если завтра наш президент, озабоченный нашей безопасностью, закроет границы, поставит вопрос о полной опоре на собственные силы, мы будем иметь такой же, как в 1952 году, взлет математического образования. У нас действительно не будет тогда кризиса математического образования.

Надо хорошо понимать - я убежден в этом! - что тоталитарное государство, к сожалению, рождает хорошее математическое образование. Если мы возьмем всякие международного среза исследования, то убедимся, что страны тоталитарного духа, стиля - они дают высокое математическое образование. Это совершенно понятно, потому что только в тоталитарной схеме можно заставить людей в возрасте десяти лет три месяца подряд складывать дроби с разными знаменателями┘

Мы должны объяснить детям, что математика - это красиво, интересно, что это необходимо. Здесь надо понять, что предыдущая цель: формирование мощного оборонного комплекса - это одна сторона. Другая сторона, я думаю, заключается в том, что не только поэтому развивается математика.

С другой стороны, математика в тоталитарном обществе - это дополнительная степень свободы. Это некое диссидентство. В СССР математик не обязательно должен был вступать в партию. Если ты занимаешься общественными науками - тут тебе уже не отвертеться, а в математике можно было двигаться вперед в своей карьере ученого и без партийного билета. Тот же Петровский был единственным беспартийным - и ректором МГУ. Если бы он был не математиком, а, скажем, историком, социологом, экономистом, этого не могло случиться ни при каких условиях. Это был момент диссидентства, момент внутренней свободы. Свободы, которую давала математика: возможность усомниться, возможность требования доказательства. Вот этот момент очень существенный.

А сейчас мы оказались в другой ситуации, в кризисе, потому что просто так выучивать формулы корней квадратного уравнения, не объясняя зачем, не объясняя почему, - это не проходит. Сегодня надо обучать так, чтобы ребенок ощущал развитие, получал удовольствие от ощущения, что он преодолевает трудности обучения для своего развития. Это гораздо труднее. Сегодняшние математики столкнулись именно с этим, потому что сегодня вообще не очевидно, какова цель математического образования.

И здесь проблема не чисто российская. Наши зарубежные коллеги ничуть не в лучшем состоянии, пример с Америкой здесь уже приводился. Потом выходишь на улицу Нью-Йорка, допустим, - все едет, все работает, все движется. Видимо, важно соотношение. Вот говорят, политики у нас неграмотные математически, а я вот, как учитель, сразу воспринимаю это как упрек мне: это же мы так научили их, они же прошли советскую школу, а не американскую. Вот в этом наша проблема! Значит, мы выбрали такую систему математической подготовки.

Я несколько раз организовывал обмен между учителями математики России и Франции. И в какой-то год наши французские коллеги сказали мне: вы знаете, в этом году мы не можем осуществить такой обмен, потому что наше Министерство иностранных дел не дает денег; деньги даются на обмен в области культуры, а они в МИДе говорят, что математика не имеет отношения к культуре. Видите, какую глупость они сказали, французские учителя. Они не понимают, что математика - это часть мировой культуры.

Александр Абрамов: Все-таки я бы хотел вернуться к вопросу о кризисе.

Первый кризис часто называют кризисом пересмотра целей. У нас страна другая, уровень жизни изменился, строй изменился. Естественно, цели должны измениться, и не только в математическом образовании. А цели школы внутри страны? И, кстати говоря, у нас нет ответа не только по поводу математического образования: мы не знаем, какова функция школы сегодня, раньше - она готовила строителей коммунизма. И этот кардинальный вопрос подменяется тем, что мы делаем 12-летнюю школу, для чего? Для чего она нам нужна? Мы уходим, не только математики, но и все педагогическое сообщество от вопроса - какова сегодня цель школы? Только частью ответа на него является вопрос о цели математического образования. Он должен вытекать из общих целей.

И второй вопрос - о состоянии кризиса. Есть кризис, он усугублялся, нарастал последнее время. Простите, полный позор. В самой читающей стране мира, в стране с такими традициями математического образования журнал "Квант" издается тиражом 4 тысячи экземпляров, не издаются монографии, не издаются задачники, нет учителей в достаточном количестве. Вот в чем кризис.

У нас накапливался очень долгое время кризис подготовки учителей, кризис педагогического образования. Если сейчас назначить, провести экзамен в пединституте среди будущих и настоящих учителей, устроить экзамен на решение элементарных задач, то понятно, какую картинку мы получим. Нам нужно пересматривать, и достаточно радикально, всю систему подготовки учителей. Этот кадровый кризис накапливался, мы сейчас далеко не на вершине его.

Владимир Тихомиров: Мой опыт преподавания на мехмате МГУ, к сожалению, состоит в том, что к последним двум курсам многие люди забывают все, чему их учили. Я спрашиваю их - вы специально забываете? Не специально, а просто так выходит. Действительно, 20% людей, заканчивающих мехмат, уже все забыли.

Математика очень далеко ушла за последние полвека, оторвалась от университетского математического образования. Страшно оторвалась. Это можно подтверждать многими и многими примерами. Что делать? С моей точки зрения, есть специальные элитарные университеты. Их может быть 5 или 6 во всем мире - Москва, Париж, Санкт-Петербург - специализированные, узкие, маленькие университеты, которые готовят специалистов.

Евгений Бунимович: Я недавно в институте усовершенствования был, в аудитории учителей математики. Я подумал: почему мне так понравилось там общаться? Я был в аудитории, где я понимал, что меня спрашивают, люди понимали, что я отвечаю, хотя эти вопросы не имели никакого отношения к математическому образованию. Я отвечал на общественно-политические вопросы в области образования, но я понимал, что меня спрашивают, и я понимал, что меня понимают, когд с тем, что наши экономисты не могли читать иностранные учебники по экономике, во-первых, потому что они не знали иностранного языка, а во-вторых, потому что не знают того языка математики, на котором написаны эти учебники. Оказалось, экономика не готовая гуманитарная наука, которой была наша политэкономия. То же самое произошло с социологией, когда люди, которые у нас называются социологи, - они ничего не понимают в статистике, ничего не понимают во многих других вещах и не могут читать просто учебники по социологии. То же самое - с медициной и т.п.

Меня поражает, что у нас на юридическом факультете не спрашивают математику. Я считаю, что все - дальше нечего говорить ни о законах, ни о Совете Федерации, о Думе вообще, - все это бессмыслица. Если наши юристы не демонстрируют элементарного уровня математического образования, - я не говорю о том, что они должны брать тройные интегралы, не дай Бог! - если они изначально знают, что им не нужно сдавать математику, то какую юриспруденцию, они предполагают, у них спросят и, вообще, какими юристами они предполагают быть...

Приведу такой пример, я пришел к своему приятелю художнику в мастерскую в Арбатском переулке. Смотрю, у него лежит книжка Клайна "Математика. Поиск истины". Я говорю: ты что, с ума сошел?! Что у тебя было в школе по математике - небось три? "Два! - говорит он. - Но три поставили, потому что других не ставили отметок. Но нам же это (показывает на книжку) ничего не говорили". А он, между прочим, учился в Суриковском училище.

Наша гуманитарная интеллигенция выучила знаменитую фразу Эйнштейна, что Достоевский дал ему больше, чем Ньютон, и в связи с этим гуманитарная интеллигенция решила, что читать надо только Достоевского. Это очень опасная тенденция! В результате в конце ХХ века, когда у нас стали печататься, обратите внимание, не математические, а философские труды - французские, русские, - когда стали читать философию, оказалось, что и это они читать не могут, не понимают принцип неопределенности. Здесь вопросы математики и философии очень близки. Наша интеллигенция маргинализуется - вот в чем проблема. Если она не понимает - я не прошу выучить формулы! - не понимает в принципе, о чем идет речь, когда говорят о фрактальной геометрии, о чем говорит Пригожин, когда он говорит о возникновении порядка из хаоса. Можно соглашаться, можно не соглашаться. Когда человек не понимает, о чем вообще говорят, то может ли он считаться в XXI веке интеллигентом, гуманитарием и, вообще, думать о каких-то универсальных вопросах. Начало нашей демократии сводится к тому, что у нас просто все гуманитарные лицеи выкинули математику из своих программ, просто целиком. Не 2 часа, не 3. Выкинули к черту математику и решили: вот, наконец, будет расцвет гуманитарных наук┘ А такого расцвета не может быть. Другое дело - гуманитариям нужно говорить о математике...

Я в школе Гнесиных преподавал математику, так получилось, попросили заменить. Школьники - лауреаты конкурсов, занятые. Я прихожу, спрашиваю: что вам нужно? Нам нужны производные, мы не понимаем. Сейчас я вас научу, и решил - по-американски. Они - что это такое, мы же не понимаем, зачем, почему? И тогда я начал говорить о Ньютоне, о Лейбнице, вообще, - откуда, как и т.д. И это было общее развитие. Речь идет о том, что ученик не может быть музыкантом, композитором, если у него исчезнет, так сказать, представление о мире.

Виктор Полтерович: Мне кажется, что мы упрощаем проблему. На самом деле речь идет о том, что у каждого, кто получает образование, имеется ограниченный ресурс. Время и силы. И вопрос состоит не в том, полезна ли математика вообще, а вопрос в том - сколько времени нужно уделить изучению математики, если иметь в виду, что имеется масса других наук - философия, история, социология, которые не менее важны. Особенно для людей, которые не собираются стать математиками.

Возьмем совсем конкретный вопрос. Бакалавриат, скажем, на экономфаке МГУ. В какой мере нужно экономистам на уровне бакалавриата давать математику? У меня был опыт преподавания в Пенсильванском университете в США. Я обнаружил, что мои студенты 2-3-го курса не умеют вычислить сумму геометрической прогрессии. Они слышали, что такая формула существует, но не знают ее. Я думаю, что наши экономисты, во всяком случае специализирующиеся по кафедре "Математические методы в экономике", они бы написали такую формулу. Но бакалавры в Америке плохо знают математику. Происходит скачок в момент перехода от уровня бакалавриата к уровню докторской программы. И здесь, откуда ни возьмись, казалось бы это те же самые студенты, вдруг они приобретают очень высокие математические знания.

Вопрос состоит в том - должны ли мы навязывать студентам-гуманитариям на уровне бакалавриата математические курсы? Либо это должны быть курсы по выбору? Вот Владимир Михайлович здесь говорил, что даже студенты-математики к 5-му курсу забывают многие элементарные вещи, которые мы прекрасно знали на 1-м и 2-м курсах. Я могу сказать, что инженеры забывают еще в большей степени. Скажем, многие студенты инженерных вузов на 5-м курсе не умеют просто продифференцировать соответствующие функции, в то время как их напичкали самыми разнообразными математическими формулами на 2-м курсе. При этом подавляющему большинству никогда это умение продифференцировать не пригодится. Понимаете. Не случайно американцы не заставляют своих бакалавров учить математику. Они смотрят реалистично на вещи. Если знание не будет использовано, то, следовательно, его не надо навязывать.

Да, общая культура необходима, да, математика является элементом общей культуры, но ведь и другие дисциплины являются важнейшими элементами общей культуры. Мне кажется, что здесь есть проблема.

Александр Абрамов: Помните, у Сноу есть замечательное книжка - "Две культуры", в которой обсуждается, что есть логика естественно-научного мышления и гуманитарного. Мне кажется, это большая проблема. Мы все справедливо, из патриотических чувств, сегодня говорили о том - как хороша математика, как плохо с ней обращаются. Но на самом деле у нас, математиков, тоже есть собственные грехи. Математика, наверное, ближе ко второй культуре, чем естественнонаучники, но существует проблема гуманитарного образования для математиков. Мы все формировались - сегодня здесь уже об этом говорили - под влиянием конкретных людей, под влиянием конкретных ситуаций. Даже то, что мы умеем общаться, любим музыку, читаем литературу, - это не есть результат собственного математического образования. Это другое. Есть другая сторона проблемы, в этом отношении, что касается профессиональных качеств математиков.

К сожалению, мы часто с этим встречались, для чистого математика решение практической задачи - это часто становится проблемой не только в экономике. Скажем, логика математика и физика - это разные логики. И понимания того, что делают другие сферы, часто нет. Вот это тоже большой пробел в математическом образовании - неумение решать в массе прикладные задачи, неумение их ценить, понимать и т.д.

Игорь Шарыгин: Я хочу добавить. Есть такой писатель Владимир Маканин. Он имеет математическое образование. Я как-то спросил его: "Володя, а вот как тебе помогает математическое образование, зачем оно тебе нужно?" "Я могу читать современные книги по философии, - ответил он. - Математическое образование мне в этом здорово помогает". В свое время мы даже так говорили: если хочешь знать литературу, иди на мехмат.

Николай Долбилин: Одна реплика вдогонку. По поводу того, что нужно ли учить то, что потом можно забыть. Я не помню, кто сказал эти слова, но "образование - это то, что остается, после того как забыл все, что сдавал на экзаменах". Это действительно так. Действительно, можно не помнить, как берутся кратные интегралы, но главное, что ты знаешь, что такие вещи существуют. Ты знаешь, для чего нужен интеграл, ты знаешь, для чего нужен математический анализ. Ты знаешь, что всегда, если тебе понадобится, ты можешь обратиться к нужным источникам.

Теперь хотел бы все-таки вернуться, как мне кажется, к одной из важнейших причин кризиса нашего математического образования. Конечно, эта причина - в школе. И точнее я бы сказал так: в учителе математики. Здесь имеется две стороны, две ипостаси этой проблемы. Одна - отношение общества к учителю, а вторая - это внутренняя проблема. Это то, как мы сами готовим этих учителей математики. То, что наши учителя математики в среднем дают неплохую продукцию, это общепризнанно. В то же самое время то материальное положение, в котором они находятся, особенно учителя провинции, - это просто ужасно.

С другой стороны, есть, конечно, другая проблема. Вот, лет 15 тому назад мы изучали проблему подготовки учителей математики в педвузах. И что обнаружили? Что педагогические вузы, их математические кафедры имеют, в общем-то, очень сильный состав математиков. Все математики там - это доктора, профессора, известные специалисты в области математики. А теперь рассмотрим программу этих педагогических вузов. Оказывается, что математическая программа не уступает ведущим университетским программам. Что получается? Получается так, что в педагогическом вузе, в общем-то, не очень сильный выпускник средней школы, желающий стать учителем математики, готов научиться решать элементарные задачи и научиться научить других этой элементарной математике. Вместо того, чтобы этот уровень, так сказать, усилить, вместо того, чтобы сделать из него высококачественного учителя, кафедры математических факультетов, в общем-то, дают очень сильные, даже непосильные математические курсы: функциональных уравнений, математического анализа, математической статистики, теории вероятностей и так далее.

Получается так, что пришел будущий учитель на 1-й курс педвуза, он кое-как умеет решать элементарные задачи. На выходе он это уже делает гораздо хуже, чем делал на входе. В итоге, учителя, как показывает опыт, в среднем очень плохо знают школьный материал. Они не умеют решать задачи чуть-чуть выходящие за рамки среднего уровня, нестандартная задача, которая взята из той же "Математической смекалки" Кордемского, - это уже проблема. В результате такой учитель не может привить интереса к математике своим ученикам...

Вот Евгений Абрамович говорит, надо так учить математику, чтобы было интересно, чтобы получал удовольствие. Но какое удовольствие может быть у такого учителя. Каждый из нас, кто пришел в математику, знает точно, что не учебники, ни программа решали его выбор. Решал учитель. Я просто уверен в этом на 99 процентов. Мне кажется, что проблема повышения уровня подготовки учителя математики - это центральная проблема. Но она все-таки решаемая. Для этого, конечно, нужно изменить отношения к учителю со стороны как общества в целом, так и нас, математиков, в частности. Математики ответственны за то, что курсы математического образования в педвузах просто абсолютно вредны.

Иван Ященко: Полтора последних года я занимаюсь переподготовкой учителей математики на факультете переподготовки. Это инженеры, которые идут сейчас в школы преподавать. То есть это такой - даже цинично можно сказать - подарок школе от нашей экономики. Развалилось много научно-исследовательских институтов и как раз в учителя математики пошли люди, которым лет 40-50, деваться им уже практически больше некуда. По школе, конечно, удар страшный, но математике в этом смысле чуть-чуть повезло.

Как раз когда я туда пришел, стали думать: чему же их учить. С учетом того, что формально мы должны давать им "корочки" учителя математики. Человеку нужно знать понятие действительного числа. Не для того чтобы он тройные интегралы брал, а для того чтобы, когда он объясняет детям теорему о пропорциональных отрезках, он понимал, что там-то "зашито" действительно определение действительного числа. Это тонкая, сложная, философская вещь.

У меня есть учебник для первого класса церковно-приходской школы, который я храню. Так там в некоторых местах просто написано: "Этого мы с вами умом постигнуть не можем, но должны уверовать". И все. Вместо каких-то абстрактных понятий, объяснений...

Человек должен от настоящей математики получить заряд математической культуры, какой-то философский заряд, получить знание ключевых моментов, которые имеют не технический характер, а именно философский. Учитель должен, особенно в массовой школе, сеять не вот эти технические знания, а нести культуру. На худой конец преподаватель должен понимать, что он чего-то не понимает. В противном случае чем опасна математика? Тем, что математике формально в школе учить очень легко. Вот квадратное уравнение, вот формула корней, и вот 20 задач на ее решение. Американский принцип.

Теперь, переходя к содержанию образования школьного, которое как раз связано с образованием в педвузах. Что произошло? Математика ушла далеко за последнее время. И на самом деле некоторым вещам дети сейчас учатся быстрее. Жизнь требует некоторых математических знаний, которым в школе еще не учат, считают, что сложно. Понятие отрицательного числа у нас в школьной программе вводится в 6-м классе. Но любой первоклассник или второклассник на градусник все-таки смотрит чуть ли не каждый день.

Александр Абрамов: Мы затронули сейчас очень важную тему. Человечество может приступить к решению задач, которые раньше ему никогда не снились. При таких гигантских объемах потенциально доступной информации, при такой скорости выборки, наверное, потребуются другие способности от человека. Например, искусство членения задачи, чтобы скинуть какие-то вещи машине┘ Много чего возникнет.

Это большой вызов для всей системы образования не только у нас, но и для всего человечества. Не случайно сейчас консервативные и любящие свое образование и англичане, и американцы приступают к радикальной реформе национальных систем образования.

Дмитрий Шмерлинг: Тема бесконечно интересная и бесконечно важная. Я должен подходить к ней с таким же, как Владимир Михайлович, целевым стратегическим подходом, потому что это требует очертить внешнюю среду по отношению к математике, к преподаванию математики, к рассматриваемому предмету, и посмотреть на математическое преподавание, на математику в обществе как на некую внутреннюю систему во внешней среде. Что такое общество могло бы сегодня получать от математики, от математического образования, такое, чего общество недополучает?

В математике производят впечатление не столько математические вещи, а маленькие штрихи. Все хорошие, старые преподаватели мехмата не считали зазорным присесть прямо в коридоре за известные дубовые столики и в твоей тетрадке объясняли тебе то, чего ты не мог понять. Это на студентов производило чрезвычайное впечатление! Я это до сих пор очень хорошо помню. Также на нас производил неизгладимое впечатление Иван Георгиевич Петровский, который спокойно стоял в очереди в столовой, и никого это не удивляло. Потом, через много лет, я подумал о том, что теперь я бы удивился.

Леонид Витальевич Конторович, который держал дверь лифта метров за сто, когда я опаздывал, бежал на семинар. Вот такие маленькие штрихи, достойные целого романа. Вот поэтому такая большая математическая культура - это и культура человеческих отношений. По-русски - это интеллигенция.

Теперь насчет того, чего обществу не хватает от математики. Ну конечно, обществу сильно не хватает сейчас исследовательской культуры. Математической исследовательской культуры в галилеевском смысле: надо измерять то, что можно измерить, и пытаться измерить то, что измерению не подлежит. Властные структуры, корпоративная среда, население во многом утеряли эту культуру, а зачастую являются просто откровенными врагами исследования как такового. При каждом удобном и неудобном случае сейчас говорят: "Нечего там исследовать, надо решать". Это ходовая фраза, это тип мышления. Вот это меня пугает куда больше, чем какие-то там технические штрихи или то, что кто-то не умеет брать интеграл от рациональных функций. Математика сейчас в нашей стране, может, и в мире тоже, чрезвычайно нужна с прицелом на то, чтобы она показывала, что есть вообще исследование. Что есть исследовательская культура и что такое объективность, что такое справедливость.

Никакого общекультурного воспитания без разумного обучения математике, на мой взгляд, просто невозможно. Это совершенно бредовые идеи, так же, как не учить родному языку, не учить иностранным языкам, это так же плохо, как не учить древним языкам.

Андрей Ваганов: А что, вы считаете, что такая тенденция есть?

Дмитрий Шмерлинг: Тенденция есть и антиматематическая, и антинаучная - и довольно сильная. На Западе - я знаю по отзывам, у нас - я знаю на собственной шкуре слишком хорошо, лучше бы я этого не знал. Какая она - эта тенденция? Я, может быть, из всех присутствующих больше всех имел дело с нашим начальством в последние годы, с начальством в очень широком диапазоне. За 95 процентов я поручусь, что они настроены или безразлично, или просто антинаучно. Это экспертная оценка. Никакое серьезное дело в корпорациях и властных структурах мне ни разу не удавалось продвинуть, пока я не натыкался на бывшего математика или физика. Могу поклясться, что я знаю только один способ что-то там серьезное делать, - это найти во властных структурах человека с физико-математическим образованием.

Андрей Ваганов: Если раньше говорили - ищите женщину, то тут нужно искать женщину-математика┘

Дмитрий Шмерлинг: К сожалению, это подтверждается в 99 случаях из 100. Поэтому я веду целое досье на таких людей. Я просто стараюсь запоминать всякого человека в любой среде, который имеет физико-математическое образование. Потому что математика, как говорил Гиббс, - это язык. Вот с ними я могу говорить на этом языке.

Если бы меня спросили, что делать, я бы так сказал... Я не очень хорошо знаю ситуацию в средней школе. Но насчет вузовского образования - имею большой опыт не столько преподавательский, сколько личный. Преподаватель я очень молодой, а вот учился я и слушал лекции во многих вузах, в пяти-шести, наверное. Идеальным примером стал бы для меня какой-нибудь Львовский университет 1925-1927 годов, в котором в массовом порядке на всех факультетах очень здравые, неформализованные, глубокие, идейные курсы читал Стефан Банах. Его курс был рассчитан не для математиков. Следствием чего было огромное количество людей, которые учились на юридическом, историко-философском и других факультетах, но стали впоследствии крупнейшими специалистами в математической статистике, в теоретической физике, ушедшими в инженерное дело, иногда даже в математику. Я читал интервью с одним из таких людей, опубликованное 10 лет назад. Он рассказывал, что закончил с золотой медалью школу и с золотой, первой наградой, юридический факультет в 1925 году и стал математиком. Это просто ему очень понравилось. И на вопрос: "Кто же читал вам математику?" он ответил: "Как кто? Профессор Банах, конечно".

Я и сам сталкивался с таким очень здравым, разумным, естественным преподаванием математического анализа, которое производит на студентов чрезвычайно глубокое впечатление. Если бы такое здравое направление, которое в России тоже явно было в технических вузах, в экономических учебных заведениях удалось как-то наладить, непрерывной цепочкой - от школы до докторских степеней, это очень сильно поправило бы дело.

Андрей Ваганов: Виктор Меерович, вы как раз готовите специалистов, уже получивших первое высшее образование. Они приходят к вам, и вы начинаете их, если можно так сказать, приспосабливать к экономике с математическим уклоном... Ваш взгляд, ваше впечатление: с чем вам приходится сталкиваться, что вас больше всего поражает, с приятной или с неприятной стороны, в смысле математической подготовки?

Виктор Полтерович: Сначала хотел бы высказать свое мнение о причине кризиса в математическом образовании, как я это понимаю. Я выделю три основные причины: первая - появление новых возможностей школьников и студентов. При советской власти не было научной экономики, не было научной социологии - их не было как дисциплин научных, они были задавлены идеологией. Поэтому талантливые люди шли в точные науки, в математику.

Вторая причина - относительно низкий престиж ученого вообще, математика в частности. Достаточно сравнить зарплаты профессора математики в российском университете и, скажем, клерка в банке, для того чтобы понять, что здесь есть некоторые препятствия для того, чтобы получать серьезное математическое образование.

И третья причина - невостребованность высококлассных специалистов в других науках. Дело в том, что математика, конечно, была и остается сейчас универсальным языком науки, в частности и языком, широко используемым в гуманитарных дисциплинах. Если мы хотим иметь высококлассных специалистов в социологии или в экономике, мы должны дать им очень глубокие, очень серьезные математические знания. И я сталкиваюсь с этой проблемой.

Я преподаю в Российской экономической школе. Это небольшое элитарное заведение. Мы даем магистерскую мастерскую программу по экономике. У нас двухгодичная программа. Мы набираем студентов, в основном имеющих первое образование. Конечно, естественно, было бы думать, что к нам пойдут экономисты, которые хотели бы получить хорошее образование в экономике. Вступительный экзамен у нас - математика в объеме вуза. Мы спрашиваем, требуем, чтобы были достаточно хорошие знания в дифференциальном и интегральном исчислении, хорошее знание алгебры, дифференциальных уравнений.

И вот выясняется, что наши экзамены не могут пройти подавляющее большинство экономистов. В то же время многие математики, физики готовы поменять направление своей деятельности. Причем это очень способные люди, уже добившиеся в своих областях каких-то успехов, и они готовы поменять свой профиль, потому что не видят перспектив для своего дальнейшего развития в своих областях. И к нам они приходят.

Кроме знания математики, мы требуем хорошее знание английского языка. Для экономиста переход с математического языка на собственно вербальный экономический язык - это примерно то же самое, что для математика переход с языка формул на язык геометрии. При таком переходе с одного языка к другому вы получаете необыкновенную экономию мышления, те задачи, которые на одном языке кажутся совершенно нерешаемыми, в рамках другого языка оказываются совершенно очевидными. У многих математиков трудности, потому что мы на вступительных экзаменах проводим даже не экзамен - тест по экономике, который должен отсеять людей, совершенно случайно выбравших экономическое направление и неспособных к восприятию экономических знаний.

К нам ежегодно поступают от 50 до 60 человек. В этом году мы намереваемся взять 80 человек, из них половина заканчивает нашу школу, остальные не выдерживают по разным причинам. Во-первых, потому что трудно. Невероятно трудно! Программа бакалавриата им дается в течение 5-6 месяцев. После этого сразу же начинается программа, которая требует очень высокого уровня математических знаний.

Вторая причина отсева - соблазн. Наших ребят уже после первого курса на работу берут, притом на высокооплачиваемые должности. У них пропадает стимул получать собственно диплом. Есть возможность уйти в банк, или, скажем, в финансовую компанию, или в какую-нибудь международную структуру, например, МВФ. Они уходят, не получая диплома. Многие, кстати говоря, после окончания школы уезжают за рубеж. В каждом выпуске мы имеем одного человека, принятого в Гарвард, Йель и т.д. То есть это самый высокий уровень. Мы естественно выдерживаем конкуренцию.

А вот проблема для нас - вернутся ли они? Часть, по крайней мере, возвращается. У нас уже сейчас в школе преподают несколько наших бывших выпускников. Но высококлассные специалисты мало востребованы в России. Вот это страшно печальная вещь. Если в Минфине оказывается достаточно образованный человек, он старается набирать квалифицированных людей. Целая группа в Минфине почти сплошь состоит из наших выпускников. В Центральном банке есть люди, которые действительно понимают ценности экономического, настоящего экономического образования. И там есть значительное количество наших выпускников. Но это, как бы сказать, островки. Подавляющее большинство администраторов, политиков просто не знают о том, что такое высококлассный специалист в области экономики.

Довольно наивная задача добиться того, чтобы политик владел математикой. Вообще владение математикой - это тяжелый труд, и далеко не все готовы тратить силы, для того, чтобы это сделать. Но понимание того, что высококлассные специалисты необходимы на всех уровнях в качестве советников, помощников и т.д., это понимание у политиков нужно воспитывать. У нас пока подобное понимание отсутствует. И это еще одна причина кризиса.

Математика, точные науки перестали быть единственным полем приложения для талантливых людей. И в то же время наша экономическая система, хозяйственная система -она как бы еще недостаточно развита для того, чтобы привлекать высококлассных специалистов.

Евгений Бунимович: И все-таки главный, ключевой вопрос, по-моему, в том, как учить учителей. Самый ключевой вопрос! Если мы будем учителей учить формально, почему же они будут учить по-другому? Формальный подход проще, и в этом его опасность.

Игорь Шарыгин: Мне довелось наблюдать урок теории вероятностей во французской школе, который состоял в том, что в течение 45 минут дети кидали кнопки и записывали, как они упали. И все. Больше на том уроке не было ничего. Я это видел, я сам был на этом уроке и не понимал, что там происходит. Кому дали кнопки, кому скрепки, шарики...

Иван Ященко: Позвольте мне еще одну реплику по поводу экономистов. Мне кажется, математика нужна всем вот еще почему. Вначале было сказано, что какой-то перерыв в математическом образовании губит мозги, и часто необратимо.

Александр Абрамов: У меня в результате нашего сегодняшнего обсуждения появилось две новости: одна хорошая, другая плохая. Хорошая новость заключается в том, что мы все более или менее договорились, что нам нужны новая школьная математика, новое математическое педагогическое образование и в этой области очень многое нужно менять. А плохая новость в том, что всей этой работы пока что мы всерьез не начали. Если к великой советской математике мы шли лет 70, если не больше, то сейчас, понимая, что нам предстоит строить новую систему математического образования, мы этой работы еще не начали.

Андрей Ваганов: Уважаемые участники нашего "круглого стола"! Я просто уже поглядываю на часы, нам осталось 30 минут работы.

Есть одна тема, которую просто не могу не затронуть: как оценивать математические знания. Я веду к разговору о проблеме тестирования как способа оценки знаний. Это сейчас помимо всего прочего просто становится модой. Вы знаете не хуже меня, что мода - это страшное явление, видимо, сравнимое по процессу захватывания в свой круг людей с какой-нибудь эпидемией, распространение которой, кстати, тоже можно описывать в математических терминах. Я бы хотел, чтобы каждый из вас высказал свое отношение к этой проблеме. Тестирование: в каких формах оно возможно, подходит ли оно для школьников, для вуза, для каких-то промежуточных ступеней в обучении или вообще это совершенно вредное занятие?

Александр Абрамов: Мне кажется, что это страшно опасная вещь. С помощью тестов далеко не все проверяется. Мы говорили о том, что учитель - очень важная фигура, но услышать, что происходит в ученике, помочь ему без общения в какой-то форме на вступительных экзаменах - это просто невозможно. Кроме того, при этом есть очень большая опасность. Тесты могут служить каким-то объективным ситом, но не основанием для конечного решения. Это очень серьезная, очень трудная работа, очень специфичная. Я могу в этом отношении привести один пример.

Мы приводили тесты, отбирали команду на международную олимпиаду. Нам нужно было получить разделение. Поскольку ребята были сильными, мы никак не могли поймать разделение, не получали команды. Потом я сделал одну варварскую вещь. Мы взяли тест, который требовал хорошей культуры, нужно было доводить до числового результата. Но если нет культуры, если есть какие-то провалы в такой подготовке, то на это уходит много времени и т.д. Рекомендовалось 2,5 часа. На этом уровне мы дали 1,5 часа. Мы получили разделение, профессионалы выделились, была полная корреляция по результатам тестирования с результатами международной олимпиады.

Я к тому клоню, что подготовка тестов - это очень сложная работа... Я не видел пока качественных тестов. Но в каких-то масштабах - служить начальным ситом при гигантском конкурсе, например, - тесты годятся.

Во-вторых, это проблема оценивания. Что, собственно, оценивать? Мне кажется, что есть уровень усвоения, есть вещи, которые нельзя не знать. И это можно проверить. Есть уровень понимания. Нужно стремиться к тому, чтобы он был достигнут. А есть еще уровень общих представлений, с которыми нужно познакомить человека. Но мы на этот уровень не выходим, мы не знакомим учеников с великими идеями человечества.

Поэтому вся система контроля нуждается в очень серьезном обдумывании, чтобы не было там мучения, не было идиотских занятий. А ведь сейчас иначе, как идиотизмом, то, что делается при поступлении в вуз, не назовешь. Надо потерять кучу денег, Иван Ященко: Я даже грубее скажу: тесты проверять математические знания не смогут никогда, принципиально. Могут играть только вспомогательную роль. Потому что имеется существенная часть результатов обучения математике, которая тестом не проверяется в принципе. Один из критериев грамотного обучения математике - человек способен логически грамотно излагать свои мысли. И эту вещь тестом проверить невозможно в принципе. Кроме того, от тестов, хотя они пришли к нам с Запада, веет социалистической уравниловкой.

Но вспомогательную роль тесты могут и должны играть. Потому что тест - вещь очень дешевая. Дешевая в технологическом смысле и простая. Для чего они могут пригодиться? Например, мы хотим сравнить качество обучения по разным учебникам, хотим оценить промежуточный рубеж работы. В качестве вспомогательного этапа, для проверки какой-то части навыка тесты могут применяться. Но не в качестве итогового экзамена.

Игорь Шарыгин: По проблемам тестирования уже была моя статья в "Независимой газете" (см. "НГ-наука" # 3 от 22 марта 2000 г. - Ред.). Статья называлась "Куда податься тугодуму?". Единственным, кто отреагировал на эту статью, оказался Владимир Хлебников, директор Центра тестирования Минобразования РФ.

Итак, тестирование - для чего? Тестирование в процессе обучения необходимо и нужно. Так мы можем получить срез знаний в классе за 5 минут. Но речь идет о тестировании как способе оценки знания, как выпускном тестировании. Или о тестировании в качестве вступительного экзамена. Что получается: мы знаем все недостатки действующего экзамена. Самый главный его недостаток - он неустойчив. Вот 5 задач, стоит ошибиться сильному человеку в одной пустяковой вещи - и все, он летит с пятерки на тройку, хотя парень сильный. А люди психуют... Тест в этом плане чем приятен? Он устойчив: 20 задач, одной не сделал - ну и что?

Наверное, нужен поиск новых технологий - это главная наша задача, - которые сочетали бы достоинства и традиционного экзамена, и экзамена в форме теста. Почему-то мы под тестами понимаем самую примитивную форму выбора ответа. Есть разные формы, средства - более гибкие, более удобные. Надо заниматься поисками. И к этому поиску надо привлекать высококлассных специалистов. Потому что сегодня тесты составляют - я скажу про Америку - идиоты. Это не мое мнение, а одного американского профессора Джо Бирмана. Он сказал: я знаю тот идиотский уровень автора этого теста, поэтому я умею на него отвечать.

Кстати, тест - вещь дорогостоящая, я хотел бы тут поправить Ивана Ященко. Не знаю, верно ли, что тест - социальная уравниловка? Почему тогда считается, что тестирование может привести к социальному расслоению? Наоборот, сильные школы лучше подготавливаются, слабые отстают и т.д.

Дмитрий Шмерлинг: Имеющиеся у нас в стране специалисты по тестированию, как всегда, не привлечены к конструированию тестов. Таковая школа была в Педагогическом институте имени Ленина; у военных, например, были написаны книги по теории тестирования, люди занимались как математической, так и психологической частью. Надо бы их привлечь. Но я, безусловно, разделяю осторожное отношение к тестам.

Виктор Полтерович: Не думаю, что вопрос о том, нужны ли тесты и какие нужны, может быть решен на абстрактом уровне. Это вопрос, который следует изучать, исходя из опыта. Но мы знаем или по крайней мере думаем, что тесты менее затратны, более устойчивы. Мы также предполагаем, что в процессе тестирования мы не можем выяснить целый ряд аспектов знания у тестируемого, которые могли бы быть выяснены в случае письменного или устного экзаменов. Но как сопоставить вот эти положительные стороны и негативные черты - это некоторая проблема, которая зависит, в частности, от искусства составления тестов, от того, какие цели тест преследует и какое место он вообще занимает в процессе обучения и отбора.

Я могу сказать о некотором опыте, который имею в связи с преподаванием все в той же Российской экономической школе. У нас сначала был устный экзамен по математике. Наши западные партнеры очень настаивали на том, чтобы был письменный экзамен. Тогда встал вопрос, в какой форме его надо давать. В форме некоторых задач либо форме тестов. В этом году мы сделали комбинированный экзамен. То есть один день абитуриенты сдавали тест, а на следующий день - полноценный письменный экзамен. Выяснилось, что корреляция довольно высокая. То есть, конечно же, если бы мы отбирали людей только с уникальными способностями, мы могли бы пропустить одного или нескольких. И в случае, если выбор нацелен именно на выявление людей с уникальными способностями, это были бы колоссальные потери. Но мы не ставили перед собой таких задач и поэтому думаем, что от теста отказываться нельзя. Конечно, к этому надо относиться осторожно.

В следующем году мы задумали сделать единый комбинированный экзамен в один день: несколько вопросов типа теста и небольшое количество содержательных задач. Это следующий этап. Возможно, что это некоторый компромисс, который позволит нам найти оптимальное решение. Наличие значительного количества вопросов типа теста дает устойчивость, а содержательные задачи позволяют выявить сильных людей. Это проблема прикладной математики, где действительно нужно мыслить в терминах какой-то модели.

Евгений Бунимович: Это проблема не только прикладной математики, но очень серьезная педагогическая проблема. Я говорю об этом как учитель математики.

Преподаватели учат не тому, что написано в учебнике, и даже, наверное, не тому, что записано в программе, а тому, что будет на экзамене. И поэтому экзамен - это мощный рычаг, любой экзамен. А самый мощный рычаг влияет на образование. Именно поэтому надо быть очень осторожным. Это первый момент. Второй момент заключается в том, что, как бы мы ни хотели говорить с каждым учеником, выяснить его склонности и способности - такой возможности у нас нет. И именно потому, что мы находимся в таких условиях, мы не сможем обойтись без того, что здесь называется тестами. Хотя я до сих пор не понял, что мы называем тестом. Но это отдельный вопрос.

Есть еще один момент. Это трагическая для российской школы проблема - проблема списывания. Это очень серьезно. Если система списывания, подлога является просто массовой системой - так же как в свое время было стыдно украсть колбасу в магазине, но не стыдно стащить книжку в библиотеке, примерно так же не стыдно было списывание, - тогда и все остальное не очень стыдно. Если у нас есть тест, который мы можем предъявить индивидуально, я имею в виду компьютерный тест, тогда твой сосед вряд ли тебе поможет, потому что у него будут другие вопросы. На традиционном экзамене мы просто не можем каждому дать свой вариант. У нас нет на это денег. С тестами мы можем это сделать. И уже то, что это понизит уровень списывания (вранья), при всех плохих ситуациях математических и даже качественных в образовании, - это уже неплохо. Это очень неплохо.

Я не хотел бы, чтобы мы тест понимали примитивно. В конце концов мы сегодня вспоминаем часто Америку - вспомните американский тест на проверку английского языка. К нему готовятся серьезно люди, которые хорошо знают английский язык. Причем американцы решают ту же задачу, что и мы. Они не могут прислать во все страны мира комиссии, чтобы проверять каждого человека. И применительно к этой схеме они вынуждены были сделать стандартный тест на знание английского языка. Массовую систему с потерями. Да, с потерями. Но я хочу сказать, что такой тест не просто дорог, а безумно дорог. Поэтому я не уверен, что сегодня можно ввести тест, именно не потому, что он дешевый, а потому, что он дорогой.

У нас же закон придумают 10 человек, а обходят миллионы. Так же точно с тестами. Придумает группа из 10-20 человек, а сотни тысяч школьников и взрослых будут печатать пособия, как обойти тест. Это очень важный момент.

Момент следующий - тест на проверку ученика. Не надо ставить ученику отметку. Это проблема не ученика. Эта проблема школы в целом. Мы смотрим результаты. Тест дает возможность быстро сделать срез в разных областях, в смысле в разных регионах. Посмотреть, что одна область тянет, а другая не тянет. Мы без этого не обойдемся при наших просторах.

И еще один очень важный момент - право на ошибку, право ребенка на ошибку. Это тоже социальное право для подростка, который идет на экзамен.

Владимир Тихомиров: Я хочу обратить внимание на одну только вещь серьезную, которая меня беспокоит. Я слышал, где-то даже читал, что в 2003 году все вступительные экзамены будут заменены тестом. Вот это мне представляется очень и очень опасным. Из-за того, что уровень коррупции в нашей стране, к сожалению, очень высок...

Евгений Бунимович: Маленькая реплика. Я как представитель средней школы могу это только приветствовать, потому что коррупция перейдет из вузов в среднюю школу и благосостояние учителя резко повысится...

Владимир Тихомиров: Видимо, отменить процедуру тестирования вообще будет очень сложно. Мы сейчас против этого будем возражать, но тем не менее она, по-видимому, пройдет, это мировая тенденция. Но что при этом, по идее, может быть: на мехмат коррумпированным образом пойдет 90 процентов негодных людей. Даже не коррумпированных - низкокачественных. Поэтому нужен реальный рубеж, который во власти самого мехмата. До этого все будет во власти каких-то неизвестных структур. Совершенно неизвестно, кто будет расставлять галочки, где они будут заготовлены, ничего совершенно невозможно будет предвидеть. Поэтому должна быть какая-то система, при которой происходит реальный отбор людей, способных двигать вперед науку.