Математические эпидемии XX векa.

Современное формализованное образование в математике опасно для всего человечества

Владимир Арнольд

Академик, ГНС Математического института РАН, иностранный член Лондонкого королевского общества и т.д.

Пушкин писал, что "из всех литератур французская имела большое влияние на нашу заимствовавшую манерность, робость и "бледность". В лицее (где его учителем словесности был Будри, брат Марата) Пушкин имел прозвище "француз — то есть помесь тигра с обезьяной"¹⁾. Первые свои стихи он писал по-французски.

НЕУДАВШИЙСЯ ЭКСПЕРИМЕНТ

Французские академики рассказали мне, что Антуан Лавуазье был гильотинирован как "генеральный фермер" — член Королевского колхоза, собиравшего налоги с привозивших в Париж кур крестьян. Перед казнью Лавуазье просил палача, показывая народу отрубленную голову, заглянуть ему в глаза: если Лавуазье подморгнет правым (но не левым глазом), то будет сделано научное открытие, которое следует сообщить академии: голова мыслит хоть еще несколько секунд. Но палач ответил: научное открытие этого эксперимента будет нулевое — если бы они ничего не чувствовали, то мне не приходилось бы каждую неделю менять корзины с обкусанными краями, куда эти головы падают.

Французская наука всегда отличалась от всех других. Монтень отмечал как первое отличие ее полную оригинальность: "В твоем сочинении никто не должен понимать ни слова, иначе скажут, что ты не придумал ничего нового". Все ссылки на предшественников почитались неуместными, особенно предосудительно смотрели (уже во времена Монтеня) на ссылки на иностранных авторов. Меня недавно пригласили в "Комиссию по защите наследства французской науки от иностранцев" Министерства науки, образования и технологии Франции.

Французская математика оказала на русскую столь же огромное влияние, как и литература. В конце XIX века математика была преобразована гением Анри Пуанкаре, создавшего новые — и самые важные — ее области, такие, как топологию пара, что "доступно лишь белым, элитарным школьникам, ведь это абстрактное понятие - пар не имеет ни цвета, ни вкуса, ни запаха".

Американские исследователи выяснили, что разделить 1(1/4) на 1/2 могут лишь лучшие из учителей арифметики в их средних школах (число этих "лучших" учителей составляет всего 1% от числа всех).

Осенью 2000 года в Москву приезжали представители фирмы "Боинг" из Сиэтла. Они рассказали мне, что не могли бы поддерживать традиционно высокий технический уровень своих разработок, если бы не использовали труд лучше американцев подготовленных иностранцев — японцев, китайцев и русских, которых в школах еще до сих пор продолжают учить как основам фундаментальных наук, так и умению думать и решать нетривиальные задачи. Но они опасаются, что американизация обучения вскоре ликвидирует и этот источник кадров, и хотели бы помочь сохранить в России школьное образование. (Мои попытки практически использовать это желание фирмы "Боинг" пока не увенчались успехом вследствие неповоротливости наших Обломовых.)

Современное формализованное (бурбакизированное)²⁾ образование в математике — полная противоположность обучению умению думать и основам науки. Оно опасно для всего человечества. Студент 4-го курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по дифференциальным уравнениям: 4/7 больше или меньше единицы? Это был хороший студент, он решал трудную задачу теории динамических систем. После нескольких страниц сложных рассуждений и вычислений он правильно свел задачу к исследованию сходимости интеграла, зависящей именно от показателя 4/7 в асимптотической формуле для подынтегральной функции, показателя, который он сумел вычислить. Но вот простым дробям его учил не я, и сравнить 4/7 с единицей он мог только с помощью калькулятора.

На странице 42 в газете "Монд" от 25 октября 2000 года написано, что 9308 больше, чем 7153, на 93%. Анри Пуанкаре писал около ста лет назад, что есть только два способа обучить дробям: нужно разрезать (хотя бы мысленно) либо круглый пирог, либо яблоко. Но нынешние сверхабстрактные бурбакизаторы преподавания пошли по иному пути (сначала во Франции, а потом и в других странах, включая СССР). Вот школьники и думают, что 1/2+1/3=2/5.

Министр науки и образования Франции хотел резко сократить преподавание математики в школе, обнаружив младшеклассника, который на вопрос "сколько будет два плюс три?" отвечал: "Три плюс два, так как сложение коммутативно" (а что сумма равна пяти, сосчитать не мог). Боюсь, что и нам в России угрожает подобная же реформа.

"ЧИСТЫЕ" И "ПРИКЛАДНЫЕ"

Подобную же опасность представляет разделение наук на "прикладные" (нужные) и "чистые" (фундаментальные). Уже Пастер отмечал, что никаких специальных прикладных наук нет, не было и не будет: есть лишь науки, обнаруживающие истину, и приложения этих наук, использующие истины, открытые фундаментальными науками.

Попытки отделения "прикладных" наук приводили всегда и везде к катастрофическому падению уровня науки (а затем и техники, в том числе и военной). Примером может служить лысенковский погром биологии в СССР, приведший к катастрофическому отставанию сельскохозяйственного производства в стране.

Академик Андрей Николаевич Колмогоров рассказывал мне, что он считал "борющегося со случайностью в науке" Трофима Денисовича Лысенко честно заблуждающимся невеждой-недоучкой. Лысенко опровергал менделевские законы расщепления признаков во втором поколении в отношении 3:1, посадив 4000 растений гороха. Вместо расщепления 3000:1000 его ученицей было наблюдено отношение слегка отличающихся чисел. Лысенко считал, что это опровергает законы Менделя. Колмогоров объяснил, что лучшее согласие было бы крайне невероятным (уже по "закону двух сигма", хорошо известному всем артиллеристам из теории рассеяния снарядов). Кстати, спорящие с Лысенко классические генетики тут же опубликовали результаты своего повторного эксперимента с гораздо меньшим числом отклонений от законов Менделя — настолько малым, что, по словам Колмогорова, не оставалось сомнений в их недобросовестности (о чем, однако, Лысенко по своей неграмотности не знал). Вся эта дискуссия опубликована в "Докладах АН СССР".

Приведу еще один пример достижения "чистой" науки, преобразившего как естествознание, так и технику: речь идет о создании Пуанкаре в конце XIX века теории динамики систем и топологии. Около 1930 года замечательный русский математик и физик Александр Александрович Андронов обнаружил, что теория аттракторов Пуанкаре доставляет способ рассчитывать радиопередатчики. С тех пор развитые Пуанкаре и Андроновым методы стали далеко выходящей за исходные математические рамки "теории кривых, определенных дифференциальными уравнениями" областью. Сейчас она давно называется "теорией хаоса", "нелинейной динамикой", "теорией бифуркаций и катастроф". Из этой теории вытекает, например, невозможность динамического прогноза погоды на превосходящий пару недель срок (вследствие чрезвычайного нарастания первоначально малых возмущений: они вырастают примерно в 10⁵ раз за пару месяцев).

Подобно большинству результатов фундаментальных наук, теория Пуанкаре и Андронова допускает огромное число разнообразнейших приложений (от небесной механики до экологии, от теории движения зараженных частиц в ловушках типа ТОКАМАК для управляемых термоядерных реакций и в ускорителях — до радиотехники и космологии).

Лет через 10-20 после Андронова часть его результатов была переоткрыта в США, и теперь большинство ссылок (в том числе и со стороны российских авторов, незнакомых, видимо, с историей вопроса) делается не на Андронова и не на Пуанкаре, а на этих эпигонов, именем которых называют теорию Андронова.

В действительности математические результаты русской работы были сильнее всех последующих достижений эпигонов; они равно приложимы и к картошке, и к яблокам, и ко многим другим объектам (некоторые экологические уравнения применимы даже к развитию науки, "отстрел" которой начался, по-видимому, лишь в последней части XX века). Математика не делится на картофельную и яблочную; она едина.

ИЗГОНЯЮЩИЙ ВООБРАЖЕНИЕ

Пропаганде работ Пуанкаре (которые были давно по заслугам оценены русской математической школой и которые сейчас скорее продолжаются именно в России, чем в какой-либо другой стране) мешали политические обстоятельства: критика Владимиром Лениным работ Пуанкаре в книге "Материализм и эмпириокритицизм".

Все же мне удалось в начале 70-х годов добиться русского издания трехтомника сочинений Пуанкаре в издательстве Академии наук. Решающую помощь оказал здесь Николай Николаевич Боголюбов, высоко ценивший Пуанкаре и развивавший принадлежащую Пуанкаре теорию усреднения. Идея Боголюбова состояла в том, чтобы использовать административную власть наших антиэйнштейнианцев. Ведь Пуанкаре опубликовал свою статью "Об измерении времени", содержащую принцип относительности и анализ понятия синхронизации часов, за десять лет до Эйнштейна (который эту работу прочитал, но ссылаться на нее стал лишь полувеком позже).

Жан-Жак Руссо писал в "Исповеди", что он долго не мог поверить в доказанную им самим формулу квадрата суммы, пока наконец не разрезал квадрат на соответствующие четыре части.

Попытки изгнать подобные этому разрезанию соображения, необходимые для понимания математики каждым разумным человеком, из школьного образования применяются со времен Декарта (изгнавшего из геометрии чертежи, а из математики и других наук, по его словам, "всякое участие воображения"). Декарт считал, что "одинаково полезно знать как придуманные, так и подлинные причины. Достигнуть успеха можно и рассматривая следствия придуманных причин, хотя бы и ложных". Не стану перечислять "открытые" им этим путем ложные следствия (например, он пришел к выводу, что скорость света в воде на 30% больше, чем в воздухе, что входило в противоречие с теориями Гюйгенса и Ферма). Лейбниц считал нашу склонность к дедукции (вопреки наивному индуктивному, основанному на экспериментах методу Ньютона) доказательством существования Бога, вложившего в нас эту склонность, иначе не объяснимую.

Марат утверждал в 1791-м году, что "лучшие математики — Лаплас, Монж и Кузен: своего рода автоматы, привыкшие следовать определенным формулам, применяя их вслепую". Но уже Ренан (в "Жизни Иисуса") отвергает подобную бурбакизированную науку: "Что отличает эти схоластические культуры — это то, что они отводят ум от всего утонченного, окружая почетом лишь те ребяческие ухищрения, на которые потрачена вся жизнь и на которые смотрят, как на естественное занятие людей, профессионально степенных".

Русская традиция всегда была противоположной следованию слепым формулам, и я надеюсь, что мы последуем в вопросах образования не за "профессионально степенными" людьми, а за Пушкиным, который "считал схоластику за вздор и прыгал в сад через забор" (черновик к "Онегину", цитируемый Набоковым).

Примечания автора:

^1. Цитата из Аруэтта (т.е. Вольтера), отвечавшего прусскому королю, который заявил, что "на всех континентах есть обезьяны, кроме Европы, где их заменяют французы".

^2. По имени французского математика, плодовитого автора десятков книг-руководств, излишне формально написанных, по мнению многих. Под именем Николя Бурбаки публикуется группа французских математиков.