Дата создания оригинала документа: 25.08.2001.

Арнольд Владимир Игоревич родился в Одессе в 1937 году. В 1957-м окончил мехмат МГУ. Доктор физико-математических наук, профессор. С 1976 года становился избранным членом Лондонского математического общества, Национальной академии наук США, Французской академии наук, Американской академии искусств и наук, Лондонского королевского общества, итальянской Национальной академии деи Линчеи, Европейской академии наук. С 1990 года ---академик Российской Академии наук. Автор более 200 научных публикаций, более 20 монографий, в том числе "Обыкновенные дифференциальные уравнения", "Математические методы классической механики", "Теория катастроф". Вице-президент Международного математического союза.

Математика и математическое образование в современном мире *

"No star wars --- no mathematics" --- говорят американцы. Тот прискорбный факт, что с (временным?) прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только "прикладные" науки¹, ведущей себя совершенно подобно свинье под дубом.

На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству). Согласно Пастеру, существуют лишь приложения науки.

Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно они изменили наш мир, после Того как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед. Отказ современных правителей платить по этому счету ---удивительно недальновидная политика, за которую соответствующие страны, несомненно, будут наказаны технологической и, следовательно, экономической (а также и военной) отсталостью.

Человечество в целом (перед которым, ведь, стоит тяжелейшая задача выживания в условиях мальтузианского кризиса) должно будет заплатить тяжелую цену за близоруко-эгоистическую политику составляющих его стран.

Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение математического образования.

Выхолощенное и формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Наиболее характерными приметами формализованного преподавания является изобилие немотивированных определений и непонятных (хотя логически безупречных) доказательств. Отсутствие примеров, отсутствие анализа чертежей и рисунков --- столь же постоянный недостаток математических текстов, как и отсутствие внематематических приложений и мотивировок понятий математики.

Уже Пуанкаре отмечал, что есть только два способа научить дробям ---разрезать (хотя бы мысленно) либо пирог, либо яблоко. При любом другом способе обучения (аксиоматическом или алгебраическом) школьники предпочитают складывать числители с числителями, а знаменатели ---со знаменателями.

Математика является экспериментальной наукой --- частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Искусство строгого логического рассуждения и возможность получать этим способом надежные выводы не должны оставаться привилегией Шерлока Холмса ---каждый школьник должен овладеть этим умением. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. При всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики ---не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам.

В истории России был премьер-министр с математическим образованием (окончивший Санкт-Петербургский университет по математике в школе Чебышева). Вот как он описывает разницу между мягким и жестким математическим моделированием²:

"Между математиками есть двоякого рода люди: 1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения, их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи; 2) напротив, есть такие математики, которых философия математики, математические идеи не трогают, которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах...

Математики-философы, к которым принадлежу и я, относятся всегда с презрением к математикам - исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов как на людей в известном смысле "тронутых".

Сейчас мы знаем, что описанные Витте различия имеют физиологическое происхождение. Наш мозг состоит из двух полушарий. Левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое ---за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни. У "математиков - исчислителей", по терминологии Витте, гипертрофировано левое полушарие, обычно за счет недоразвития правого. Это заболевание составляет их силу (вспомним "Защиту Лужина" Набокова). Но доминирование математиков этого типа и привело к тому засилью аксиоматическо-схоластической математики, особенно в преподавании (в том числе и в средней школе), на которое общество естественно и законно реагирует резко отрицательно. Результатом явились повсеместно наблюдаемое отвращение к математике и стремление всех правителей отомстить за перенесенные в школе унижения ее изничтожением.

Мягкое моделирование требует гармоничной работы обоих полушарий мозга.

После окончания университета Витте не нашел работы по специальности и принял предложение частной компании стать начальником дистанции на Юго-Западной железной дороге. Для занятия этого поста ему пришлось по неделе простажироваться в должности каждого из своих подчиненных (стрелочника, путевого обходчика, багажного раздатчика, билетного кассира, кочегара, машиниста, начальника станции...) ---неоценимый опыт для будущего премьер-министра.

Однажды царский поезд, следующий в Крым, был замедлен по приказу Витте на его дистанции. Несмотря на возмущение Александра III, машинист подчинился не его приказу, а приказу своего начальника дистанции. Когда поезд перешел на следующую, уже не подчинявшуюся Витте дистанцию, скорость была, естественно, повышена. Вскоре царский поезд сошел с рельсов и опрокинулся (катастрофа у станции Борок). Царь запомнил имя непокорного начальника дистанции, и Витте был назначен министром (кажется, путей сообщения), а впоследствии стал и премьер-министром.

Но Витте лучше разбирался в реальной жизни страны и в проблемах экономики и техники, чем в политических интригах (к которым больший талант имеют люди левополушарные). С приходом к власти деятелей типа Распутина он был отправлен в отставку. Витте вновь призывался к власти для ликвидации критических ситуаций, созданных политиками (Русско-японская война, революция 1905 года), я даже предполагаю, что если бы Витте оставался руководителем России в течение следующего десятилетия, то наша история была бы совсем иной: не было бы ни мировой войны, ни революции и мы жили бы сейчас, как Финляндия или Швеция...

Конечно, сила Витте заключалась вовсе не в применении какой-либо математики ("исчислений"), а в том способе мышления, который он называет "математикой-философией" и который заставляет человека с математическим образованием думать о всех реалиях окружающего мира с помощью (сознательного или бессознательного) мягкого математического моделирования.

Идея о необходимости этого рода мышления для успеха в любой экономической или производственной деятельности (исключая, быть может, политические интриги) была хорошо понята уже сто лет назад³:

 ---Не пользующаяся математическими символами человеческая логика зачастую запутывается в словесных определениях и делает вследствие этого ошибочные выводы ---и вскрыть эту ошибку за музыкою слов иногда стоит огромного труда и бесконечных, часто бесплодных споров".

К сожалению, и сейчас остаются актуальными слова классика математической экономики Парето⁴:

"Экономисты, не знающие математики, находятся в положении людей, желающих решить систему уравнений, не зная ни Того, что она из себя представляет, ни Того даже, что представляет из себя каждое входящее в нее единичное уравнение".

На приеме в честь президента Франции, приезжавшего недавно в Москву, я обсуждал проекты перестройки преподавания математики в средних школах Франции с министром народного образования, исследований и технологии Клодом Аллегре и его советником Винсентом Куртийо, который так описал их планы: берем учебник математики, рвем его на куски, оставляем одну треть, выкидывая остальное, но зато требуем, чтобы оставшуюся треть школьники знали как следует.

Хочу предупредить возможных российских реформаторов-последователей: математика ---живой организм, вдобавок подобный лестнице, в которой выкидывание даже отдельных ступенек чрезвычайно опасно.

Выводы: планируемое во всех странах подавление фундаментальной науки, и в частности математики (по американским данным, на это им потребуется лет 10--15), принесет человечеству (и отдельным странам) вред, сравнимый со вредом, который принесли костры инквизиции западной цивилизации (и Испании).

Математическое образование должно составлять неотъемлемую часть культурного багажа каждого школьника.

Основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира, умение, так хорошо описанное Витте в его характеристике "математики-философии" и так блестяще использованное им в вовсе не математической деятельности. Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения.

Применяя таблицу умножения, легко получить следующий результат: уменьшение средней продолжительности жизни на десять лет приводит в масштабах СССР к такой же потере человеко-лет, как одновременный расстрел порядка 80 миллионов человек (в масштабах России ---порядка 40 миллионов). Здесь использована лемма: когда коммунисты расстреливают вас, вы теряете в среднем порядка половины своей жизни.

Математика, подобно физике, экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а следовательно, производительность наших математиков ---в соответствующее число раз выше).

Как мне сообщил на днях академик-секретарь отделения математики РАН Л. Д. Фаддеев, затраты СССР на математику в год составляли стоимость одного танка, а современные затраты России ---стоимость примерно одной десятой танка в год. Мы живем в сумасшедшем мире, будущее которого представляется весьма сомнительным. То, что в России еще остались математики, упорно на желающие эмигрировать и воспитывающие новые поколения талантливых студентов, ---свидетельство своеобразного героизма (с точки зрения наших западных коллег? глупости), традиционного для российской интеллигенции. Но долго удерживаться такое состояние не может.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПЕРЕСТРОЙКИ

Самые простые и самые общие математические модели этой сильно нелинейной ситуации приводят нас к выводам, которые могут показаться неожиданными для управленцев, привыкших иметь дело с линейными системами, в которых результаты пропорциональны усилиям.

Я воспроизведу здесь описание этих выводов из третьего издания моей книжки "Теория катастроф" (М.: Наука, 1990) (в предыдущих изданиях эти выводы поместить не удавалось по причинам, исчезнувшим? надеюсь, не только временно ---вследствие самой перестройки).

Рассмотрим нелинейную систему, находящуюся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы ⁵ (СМ. рис.)

Вот некоторые простейшие выводы:

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может пройти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение не способна.

6. Если систему удастся сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она будет сама собой эволюционировать в сторону хорошего состояния.

С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы. Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и в то же время более надежными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой и численные параметры могут быть недостаточно известными.

Рис1

Наполеон критиковал Лапласа за "попытку ввести в управление дух бесконечно малых"⁶. Математическоя теория перестроек ---это та часть современного анализа бесконечно малых, без которой сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно.

Следующее явление хорошо известно в теории управления техническими системами. Я опишу его в самой простой модели, лишь заменяя технические термины человеческими.

Пусть производство какого-либо продукта, х, управляется некоторым руководителем, принимающим решение о скорости производства. В свою очередь, поведение руководителя управляется руководителем второго ранга, принимающим решение о скорости изменения скорости производства, и так далее, до генерального руководителя n-го ранга.

Генеральный руководитель в нашей модели реализует обратную связь: его решение основывается не на желании выполнить приказ начальства (как у руководителей предыдущих рангов), а на интересах дела.

Математический анализ этой и других подобных ей моделей приводит к выводу: многоступенчатое управление, описываемое нашей моделью при n, большем двух, неустойчиво. Двухступенчатое управление приводит к периодическим колебаниям, но не вызывает катастрофического нарастания колебаний, происходящего при трех- и более ступенчатом управлении.

Настоящую устойчивость обеспечивает только одноступенчатое управление, при котором управляющее лицо более заинтересовано в интересах дела, чем в поощрении со стороны начальства.

Длительное и, по-видимому, устойчивое функционирование системы многоступенчатого управления в СССР объяснялось, вероятно, неисполнением директивных указаний и существованием "теневой" системы заинтересовывания управляющих различных рангов в интересах дела. Без такой реальной заинтересованности (которая в современных условиях уже не обязательно обеспечивается коррупцией) многоступенчатое управление всегда ведет к разрухе.

К счастью, необходимость в независимости Центробанка уже хорошо понята, но многоступенчатое ("административное") управление сохраняется во многих других случаях.

Описанная выше модель управления является? мягкой" в том смысле, что, хотя целый ряд подробностей (например, вид обратной связи) в ней не уточнен, выводы остаются справедливыми для многих различных "жестких" моделей, в которых эти подробности фиксированы.

Теория мягкого моделирования ---это искусство получать относительно надежные выводы из анализа малонадежных моделей.

* Статья подготовлена на основе доклада? Жесткие" и "мягкие" математические модели", прочитанного на семинаре "Аналитика в государственных учреждениях".

¹ Непрекращающееся финансирование псевдоспиритических наук вроде парапсихологии и антиисторического вздора академика А. Т. Фоменко (зам. академика-секретаря отделения математики РАН) еще ждет своего объяснения.

² С. Ю. Витте. Воспоминания. Т. 3, гл. 5.

³ В. Ф. Арнольд. Политико-экономические этюды. Одесса: Изд. Распопова. 1904. С. 5.

⁴ V. Pareto. Anwendung der Mathematik auf Nationalokonomie. Encyclopedie der Mathematischen Wissenshaften, Band I, Heft 7. S. 1114.

⁵ Сама по себе рыночная экономика ---не панацея: согласно знаменитой теореме Дебре, она может в принципе приводить и не к устойчивости, а к любому хаосу.

⁶ Мои французские коллеги объяснили мне, что Лаплас, будучи министром, требовал, чтобы все счета сходились до копейки.