Замечания по разделу
"Требования к уровню подготовки выпускников
старшей школы (профильный уровень)"

Понятие "знание" достаточно хорошо изучено в дидактике и доведено до операционального уровня. Методика преподавания достаточно подробно описывает, как передавать знания. Но понятию "понимание" не дано четкого определения или хотя бы описания. Никакой операциональности для этого понятия не существует. Как его добиваться? Что конкретно делать учителю математики, чтобы ученик понял определение, теорему, теорию? Более того, знание находится в книгах и даже в калькуляторе. Но понимание находится сугубо в человеческой голове, а значит, его нельзя рассматривать как объективный фактор. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно просмотреть хотя бы учебники геометрии. Факты там изложены практически одни и те же, но сколь различно понимание геометрии, например, у А.Д.Александрова, А.В.Погорелова, Э.Г.Позняка, В.Г.Болтянского, И.Ф.Шарыгина. Так какого же понимания добиваться?

Что такое "знать возможность построения геометрии на аксиоматической основе"? Следует ли это требование трактовать так, что учитель должен провести беседу на указанную тему? А может быть, в учебниках должна присутствовать некая аксиоматика, с которой учащихся надлежит хотя бы ознакомить?

Документу необходима редактура. Авторы проекта допускают явную небрежность в формулировках: что-то не дописано, что-то не так сказано, а что-то попросту нелепо. Попытка унифицировать структуру текста приводит к фразам, которые трудно, а то и невозможно понять. Вот примеры:

"Знать сочетание строгости и наглядности" Каков смысл этого утверждения?

"Геометрические чертежи касаются изображения не только трехмерных, но и двумерных объектов, расположенных в пространстве. Например, квадрат рисуют как параллелограмм произвольного вида, а окружность как эллипс

"Биссектральная плоскость — это плоскость, то есть двумерная фигура, а потому не является телом".

Знают ли авторы этого текста определение геометрического тела?

"Комбинаторные геометрические задачи".

Что это такое? Задачи из комбинаторной геометрии? А может быть, имелись в виду задачи на комбинацию фигур?

О каких таких "навыках доказательств" и прочих навыках идет речь? Авторы текста чересчур свободно толкуют это понятие в противовес научному толкованию, принятому в психологии. Есть навык делать кувырок, писать буквы, но какие навыки могут быть в решении задач?

Задач на построение в обычном курсе стереометрии совсем немного, они, в основном, теоретического характера, а тех из них, которые используют геометрические места, всего несколько. Значит ли соответствующий пункт программы, что нужно проводить специальную работу, дабы обучать школьников этому типу задач?

Есть координатный метод решения задач и есть векторный метод. Иногда они сочетаются, но нет "координатно-векторного" метода решения задач.

В программу по стереометрии не вошли движения в пространстве. Это явный недосмотр. Идея симметрии слишком фундаментальна в современной научной картине мира, чтобы ее можно было вот так просто забыть.

Что такое "смысл понятия первообразной"? Это ее определение или что-то еще?

Что значит "определение понятия интеграла на интуитивном уровне"? Разъяснения нет.

Что такое "сущность функции"?

Создается впечатление, что функции существуют только для описания зависимостей между величинами. Это неверно методологически и отбрасывает учеников от современной математики к математике позапрошлого века. Сами же авторы говорят о словесном способе задания функции. Стандартный пример — функция Дирихле.

Куда-то пропали обратные тригонометрические функции.

Что понимается под "взаимно однозначным соответствием между точками единичной окружности и действительными числами"? Как известно, его можно установить, но к тригонометрии это не имеет никакого отношения.

Что значит "находить точные значения тригонометрических функций некоторых табличных углов"? Если имеются в виду углы типа 30^o, то эти значения полезно знать. Но что тут тогда "находить"?

Куда-то пропали тригонометрические неравенства и системы.

Зачем опять введен термин "арифметический корень". При точном понимании знака радикала он не нужен. Авторы достаточно дотошны, когда они пишут о математической символике и математическом языке. И сами же грешат против него.

Замечания по разделу
"Обязательный минимум содержания
(профильный уровень)"

Авторы используют достаточно архаичное понятие цели. Современное толкование цели (не только в педагогике, но и в системологии) предполагает, что таковая является диагностируемой. Иначе говоря, всякая цель предполагает существование способа, с помощью которого можно проверить ее достижение (или не достижение). Почти все, что авторы считают целью, невозможно проверить. Поэтому лучше говорить о ценностях математического образования.

Термины "плоская фигура" и "пространственное тело" неудачны, ибо "тело" тоже геометрическая фигура. Ясно, что весь текст нуждается в тщательном редактировании.

Авторы говорят о прикладных и практических задачах, задачах из смежных дисциплин. Необходимо пояснение, в чем они видят разницу между ними, ибо и практическая задача, и задача из смежных дисциплин — частный случай прикладной.

Не существует "законов логики математических рассуждений". Как хорошо известно, законы логики универсальны и одинаковы во всех сферах, где требуется установить истину путем рассуждений.

Авторы сначала говорят о равносильности предложений с переменной, а затем о следствии. Во-первых, лучше говорить о следовании, а не о следствии. Следование "из одного котла" с равносильностью, ибо это отношения на множестве предикатов. И стоит переставить их местами: сначала следование, а потом равносильность.

Авторы не включают в программу показательную форму комплексного числа, которая имеет громадное значение для демонстрации внутренних связей математических разделов между собой. Тем самым упускается возможность способствовать пониманию всего предмета в целом.

Давно пора перестать выделять уравнения и неравенства, содержащие модуль. Подумаешь — модуль, велика наука. Аналогичное замечание об уравнениях (неравенствах, системах) с параметрами. И вообще, заметна подгонка программы под конкретные умения решать тот или иной тип задач. Все же главное и определяющее в курсе математики — изучение теории.

Исчезло из программы понятие выпуклости функции, существенное в современной математике. Однако говорится о второй производной, но без связи с выпуклостью.

Некоторые понятия есть в первом разделе и отсутствуют во втором (например, обратные тригонометрические функции). Как это трактовать?

О каком свойстве биссектрисы угла треугольника идет речь? Если о делении стороны треугольника на пропорциональные части, то непонятно, зачем это включать в программу, какое теоретическое значение имеет это свойство, почему оно необходимо для последующего изучения теории. Мало ли какие свойства есть у разных геометрических фигур. Задача авторов такой программы — отобрать действительно наиболее и существенное в курсе. Однако их все время тянет в частности.

Аналогичные замечания о многочисленных свойствах окружности, вписанных и описанных четырехугольников, вписанных и описанных шаров. Замечу, что отдельно говорится об описанных шарах и описанных сферах. То же — для вписанных. И в чем же разница между этими понятиями? Почему понадобилось отдельно говорить о касании сфер? И зачем понадобилось касание сферы и прямой?

В проекте упомянуто подобие геометрических тел. Во-первых, почему только тел? Во-вторых, уместен ли разговор о подобии, если не предусмотрен разговор о движениях в пространстве?

Включение в программу эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения требует комментариев. Во-первых — зачем? Во-вторых — на каком уровне? Только упомянуть о существовании оных (это займет 5 мин) или заниматься изучением их свойств, что вряд ли уместно в школьном курсе, ибо явно не хватит аппарата.

Почему-то говорится о расстояниях между конкретными геометрическими фигурами, но нет общего понятия расстояния между фигурами.

Авторы предполагают изучение векторов в пространстве, но где изучение векторов на плоскости? Оно исчезло из всех программ. Векторы можно применять не только к нахождению величин? как предлагается в проекте. С их помощью можно проводить доказательства, доказывать неравенства.

Я ограничился довольно фрагментарными замечаниями к программе профильной школы. Она менее дискуссионна, нежели программа для массовой школы. Замечания по программе для массовой школы еще более многочисленны. Но и этих, я полагаю, достаточно для следующих выводов.

I. Предлагаемая программа для всех типов школ должна быть существенно переработана. В свое время я был членом Экспертного Совета, на котором обсуждалась предполагаемая программа, и вижу, что многие предложения, которые высказывались на его заседаниях, так и остались без внимания.

II. Группа специалистов, написавшая этот проект, не обладает необходимой компетентностью для осуществления этой работы. В частности, я не вижу среди ее авторов ни одного видного специалиста по преподаванию геометрии в средней школе. Более того, полагаю, что в составе авторов должны быть видные математики, которые много сделали для среднего математического образования (к примеру, С.М.Никольский, В.Г.Болтянский) — они не позволят распылиться в частностях.

Общее замечание

Естественно опасение, что чрезмерная жесткость любой программы отодвинет от написания школьных учебников крупных ученых, имеющих собственный взгляд на преподавание математики. Где-то должно быть зафиксировано, что подлинной ценностью является именно учебник математики. Хотя бы потому, что он требует определенной педагогической и литературной талантливости автора.

Кандидат педагогических наук,
заслуженный учитель России,
учитель Санкт-Петербургского лицея "Физико-техническая школа"
В.И.РЫЖИК

Отсканировано из журнала "Математика в школе" (N 10, 2002, стр. 18-20)