Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Продолжение


1.3.B01

б) Упростите выражение
 x+6Цx+8
Цx+4
 -
x+6
Ц
 
x-2
 
 +6

Ц
 
x-2
 
 +4

.

Решение. Перегруппируем слагаемые в числителях так, чтобы выделить полные квадраты: 
 x+6Цx+8
Цx+4
 -
x+6
Ц
 
x-2
 
 +6

Ц
 
x-2
 
 +4
 =  x+6Цx+9-1
Цx+3+1
 -
x-2+6
Ц
 
x-2
 
 +9-1

Ц
 
x-2
 
 +3+1

.

Получаем 
 (Цx+3)2-1
Цx+3+1
 -
ж
и
Ц
 
x-2
 
 +3 ц
ш 		2
 
 -1

Ц
 
x-2
 
 +3+1

.

Воспользуемся формулой разности квадратов и, сократив дроби, найдем 
Цx+3-1- ж
и
Ц
 
x-2
 
 +3 ц
ш 		+1=Цx-
Ц
 
x-2
 

.

Ответ:


Цx-
Ц
 
x-2
 

.

Заметим, что данное выражение можно упростить с помощью замены переменных. Пусть t=Цx. Тогда первая дробь примет вид 
 t2+6t+8
t+4
 =  (t+4)(t+2)
t+4
 =t+2

.

Аналогично сделаем замену во второй дроби. Пусть

Ц
 
x-2
 
 =p

. Тогда x=p2+2, и вторая дробь принимает вид 
 p2+6p+8
p+4
 =  (p+4)(p+2)
p+4
 =p+2

.

Теперь находим разность t+2-(p+2)=t-p и, сделав обратную замену, получаем  
Цx-
Ц
 
x-2
 

.


1.3.C10

а) Упростите выражение
 5

Ц
x+5
 -
Ц
 
x+5
 
 1

Ц
x-5
 +  1

Ц
x+5
:

Ц
x+5
(x+5)
Ц
x-5
 +(x-5)
Ц
x+5
 -5x.

Решение. Упростим делимое: 
 5

Ц
x+5
 -
Ц
 
x+5
 
 1

Ц
x-5
 +  1

Ц
x+5
=  5-(x+5)

Ц
x+5

Ц
x-5
 +1
 =-  x

Ц
x+5
 +
Ц
x-5

Ц
x-5
=-
x
Ц
x-5

Ц
x+5
 +
Ц
x-5

.

Преобразуем делитель: 

Ц
x+5
(x+5)
Ц
x-5
 +(x-5)
Ц
x+5
 =

Ц
x+5

Ц
 
x+5
 
Ц
 
x-5
 
 ж
и
Ц
 
x+5
 
 +
Ц
 
x-5
 
 ц
ш
=  1

Ц
 
x-5
 
 ж
и
Ц
 
x+5
 
 +
Ц
 
x-5
 
 ц
ш

.

Следовательно, данное выражение равно
-
x
Ц
x-5

Ц
x+5
 +
Ц
x-5
Ц
 
x-5
 
 ж
и
Ц
 
x+5
 
 +
Ц
 
x-5
 
 ц
ш 		-5x =-x
Ц
 
x-5
 
Ц
 
x-5
 
 -5x=-x(x-5)-5x =-x2+5x-5x=-x2

.

Ответ:

-x2.

Решить пример можно и с помощью замены переменных. Пусть 
a=
Ц
 
x+5
 

,
b=
Ц
 
x-5
 

.

Тогда 
 5

Ц
x+5
 -
Ц
 
x+5
 
 1

Ц
x-5
 +  1

Ц
x+5
=
 5
a
 -a
 1
b
 +  1
a
 =  (5-a2)b
a+b

.



Ц
x+5
(x+5)
Ц
x-5
 +(x-5)
Ц
x+5
 =  a
a2b+b2a
 =  a
ab(a+b)
 =  1
b(a+b)

.

Частное найденных дробей равно
 (5-a2)b
a+b
 :  1
b(a+b)
 =b2(5-a2).

Сделаем обратную замену: b2=x-5; 5-a2=5-(x+5)=-x. Получим b2(5-a2)=(x-5)(-x).

Окончательно, (x-5)(-x)-5x=-x2.

1.3.D10

б) Упростите выражение

Ц
 
9a2-6ab+b2
 
 + ж
и 		 a
Цa+Цb
 -Цa ц
ш 		: ж
и 		 -5bЦa
a+
Ц
ab
 +5Цb ц
ш
и найдите его значение при a=1,1, b=4,62.

Решение.

Ц
 
9a2-6ab+b2
 
 + ж
и 		 a
Цa+Цb
 -Цa ц
ш 		: ж
и 		 -5bЦa
a+
Ц
ab
 +5Цb ц
ш 		=
Ц
 
(3a-b)2
 
 + ж
и 		 a
Цa+Цb
 -Цa ц
ш 		: ж
и 		 -5bЦa
a+
Ц
ab
 +5Цb ц
ш 		=|3a-b|+  a-a-ЦaЦb
Цa+Цb
 :  -5bЦa+5aЦb+5bЦa
a+
Ц
ab
 =|3a-b|-  ЦaЦb
Цa+Цb
 :  5aЦb
a+
Ц
ab
 =|3a-b|-  ЦaЦb
Цa+Цb
 :  5ЦaЦb
Цa+Цb
 =|3a-b|-  ЦaЦb
5ЦaЦb
 =|3a-b|-0,2

.

При a=1,1;b=4,62 значение выражения равно 4,62-3,3-0,2 =1,12.

Ответ:

|3a-b|-0,2, 1,12.

Решение следующего примера основано на преобразовании, которое иногда называют "умножением на сопряженное выражение". Выражения Цa + Цb и Цa - Цb называются сопряженными. Их произведение, равное a-b, не содержит знаков корня. Также называют сопряженными выражения
3
Ц
 
a
 
 -
3
Ц
 
b
 

и 
3
Ц
 
a2
 
 +
3
Ц
 
ab
 
 +
3
Ц
 
b2
 

,
3
Ц
 
a
 
 +
3
Ц
 
b
 

и 
3
Ц
 
a2
 
 -
3
Ц
 
ab
 
 +
3
Ц
 
b2
 

. Произведение первой пары этих выражений равно a-b, произведение второй пары равно a+b. Ни одно из этих произведений не содержит знаков корня. Применение такого преобразования часто оказывается полезным в задачах на упрощение иррациональных выражений, в частности, при избавлении от иррациональности в знаменателе дроби. При этом числитель и знаменатель дроби умножают на выражение, сопряженное знаменателю. При таком преобразовании дробь не меняется, а в знаменателе остается выражение, не содержащее знаков корня. Аналогичным образом поступают, если нужно избавиться от иррациональности в числителе дроби. При этом числитель и знаменатель умножаются на выражение, сопряженное числителю.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100