Книга для учителя	МЦНМО 2003

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 2. Тригонометрические выражения
Продолжение

Следующие задачи связаны со сравнением значений двух тригонометрических выражений или сравнением значения тригонометрического выражения с нулем.

1.4.A04

б) Найдите знак числа

tan

46p

tan

ж
и

136p

ц
ш

Решение. Воспользуемся формулами приведения и заменим углы

46p

136p

соответственно углами первой четверти.

tan

46p

=tan

ж
и

9p+

ц
ш

=tan

> 0

tan

ж
и

136p

ц
ш

=-tan

ж
и

19p+

ц
ш

=-tan

< 0

Ответ:

tan

46p

tan

ж
и

136p

ц
ш

< 0

Следующая задача интересна тем, что для ее решения нет необходимости использовать формулу преобразования произведения двух тригонометрических функций в сумму (хотя она может быть решена и с использованием этой формулы).

1.4.B08

а) Сравните числа cos14^° cos74^° и

Решение. 0 < cos74^° < cos60^°; 0 < cos14^° < 1. Следовательно, cos14^° cos74^° < cos60^°, т. е.

cos14^° cos74^° <

Ответ:

cos14^° cos74^° <

1.4.B09

б) Сравните числа

sin²6^° +cos²9^° и cos²6^° +sin²9^°.

Решение. Составим разность данных чисел:

sin²6^° +cos²9^°-cos²6^° -sin²9^°=cos²9^° -sin²9^° -

ж
и

cos²6^° -sin²6^°

ц
ш

=cos18^° -cos12^°

. Так как cos18^° < cos12^° , то разность меньше нуля. Поэтому sin²6^° +cos²9^° < cos²6^° +sin²9^° .

Ответ:

sin²6^° +cos²9^° < cos²6^° +sin²9^°.

Заметим, что ответ можно получить иначе, воспользовавшись тем, что sin²6^° < sin²9^°, cos²9^° < cos²6^°.

1.4.C01

б) Сравните числа

sin256^°

16sin16^°

и cos16^° cos32^° cos64^° cos128^°.

Решение. Составим разность данных чисел:

sin256^°

16sin16^°

-cos16^° cos32^° cos64^° cos128^°\fbrb =

sin256^° -16sin16^° cos16^° cos32^° cos64^° cos128^°

16sin16^°

sin256^° -8sin32^° cos32^° cos64^° cos128^°

16sin16^°

sin256^° -4sin64^° cos64^° cos128^°

16sin16^°

sin256^° -2sin128^° cos128^°

16sin16^°

sin256^° -sin256^°

16sin16^°

Ответ:

данные числа равны.

1.4.C02

а) Сравните числа

sin12^° +sin10^°

sin12^° -sin10^°

tan11^°

tan1^°

Решение.

sin12^° +sin10^°

sin12^° -sin10^°

2sin11^° cos1^°

2sin1^° cos11^°

tan11^°

tan1^°

Ответ:

данные числа равны.

1.4.C12

б) Сравните

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

и 1,04.

Решение. Из неравенства

-1 Ј sin

ж
и

tan

ц
ш

Ј 1

следует, что

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

Ј sin²

ж
и

tan

ц
ш

Из неравенства

-1 Ј cos

ж
и

tan

ц
ш

Ј 1

следует, что

cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

Ј cos²

ж
и

tan

ц
ш

Поэтому,

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

Ј sin²

ж
и

tan

ц
ш

+cos²

ж
и

tan

ц
ш

, т. е.

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

Ј 1

Значит,

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

< 1,04

Ответ:

sin²³

ж
и

tan

ц
ш

+cos⁹

ж
и

tan

ц
ш

< 1,04

Завершим обзор задач на преобразование тригонометрических выражений и вычисление их значений двумя упражнениями, при решении которых используются свойства арифметической и геометрической прогрессий.

1.4.D08

а) Найдите tan70x, если числа sin2x, sin7x, sin12x являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение 2sin7x=sin2x+sin12x. Преобразуем полученное равенство:

2sin7x=sin2x+sin12x Ы 2sin7x=2sin7xcos5x Ы 2sin7x(1-cos5x)=0 Ы

й
к
к
к
л

sin7x=0,

cos5x=1.

Поэтому

й
к
к
к
л

7x=pn,

5x=2pn,n О Z,

откуда

й
к
к
к
л

70x=10pn,

70x=28pn,n О Z.

Следовательно, tan70x=0.

Ответ:

1.4.D10

б) Найдите tan20x, если числа sin4x, sin8x, sin12x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Из условия задачи следует соотношение

sin²8x=sin4xsin12x.

Преобразуем полученное равенство: sin²8x=sin4xsin12x Ы

1-cos16x

(cos8x-cos16x)

Ы cos8x=1.

Следовательно, 8x=2pn,n О Z. Значит, 4x=pn,n О Z.

Поэтому tan20x=tan5pn=0.

Ответ:

Назад | Оглавление | § 3

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.