Книга для учителя МЦНМО 2003

 Глава 1. § 4  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2.
Уравнения и системы уравнений

 Во вторую главу сборника включены целые алгебраические, рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, а также системы уравнений. Среди упражнений главы – уравнения, содержащие знак модуля; задачи, связанные с функциональной символикой и сводящиеся к решению уравнений; задачи на отбор корней уравнения или поиск их числа.

К основным методам решения уравнений относятся следующие: Сразу скажем, что решение уравнений в экзаменационной работе может быть записано самыми разными способами. Требовать от учащихся использования только равносильных преобразований, как и считать их отсутствие недочетом, не следует. То же можно сказать и о знаке совокупности (объединения): ни его использование, ни его отсутствие нельзя считать недочетом. Важно лишь, чтобы решение не содержало математических ошибок, к которым, в частности, относятся неверное использование тех же знаков равносильности и совокупности или отсутствие проверки при решении уравнения переходом к уравнению-следствию.

§ 1. Целые алгебраические уравнения

Одним из основных способов решения целых алгебраических уравнений является разложение на множители. Приведем решения соответствующих упражнений.


2.1.A02

б) Решите уравнение (2+x)2=(2+x)(55x-4).

Решение. Перепишем уравнение в виде
(2+x)((2+x)-(55x-4))=0.

Полученное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
2+x=55x-4,
2+x=0,
откуда
й
к
к
к
к
к
л
x=  1
9
 ,
x=-2.

Ответ:


 1
9
 ;-2

.


2.1.C01

б) Решите уравнение
 (x2+25x+24)2
3
 +3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (x2+27x+26)2
3
.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (x2+27x+26)2
3
 -  (x2+25x+24)2
3

Ы
3 ж
и 		x2-  7
3
 x-  10
3
 ц
ш 		2
 
 =  (2x+2)(2x2+52x+50)
3

Ы (3x2-7x-10)2=4(x+1)(x2+26x+25).

Разложим на множители трехчлен x2+26x+25:
x2+26x+25=(x+1)(x+25).

Разложим на множители трехчлен 3x2-7x-10:
3x2-7x-10=(x+1)(3x-10).

Уравнение принимает вид
(x+1)2(3x-10)2=4(x+1)2(x+25),
откуда
й
к
к
к
л
(3x-10)2=4(x+25),
x+1=0.

Решим первое уравнение:
(3x-10)2=4(x+25) Ы 9x2-60x+100=4x+100 Ы 9x2-64x=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=0,
x=  64
9
 .

Решим второе уравнение: x+1=0 Ы x=-1.

Ответ:


-1;0;  64
9

.


2.1.D10

б) Решите уравнение
(x2+4x+3)2+(x2+3x+2)2=(x2-1)2+(x2-x-2)2.

Решение. Перегруппируем слагаемые:
(x2+4x+3)2-(x2-x-2)2=(x2-1)2-(x2+3x+2)2Ы(5x+5)(2x2+3x+1)=(-3x-3)(2x2+3x+1)Ы5(x+1)(2x2+3x+1)=-3(x+1)(2x2+3x+1)Ы8(2x2+3x+1)(x+1)=0 Ы й
к
к
к
л
x=-1,
2x2+3x+1=0.

Решим второе уравнение совокупности:

2x2+3x+1=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=-  1
2
 .

Ответ:


-1;-  1
2

.

Часть упражнений первого параграфа второй главы сводится к решению уравнений вида f(g(x))=f(p(x)). Уравнение f(g(x))=f(p(x)) далеко не всегда равносильно уравнению g(x)=p(x). При подобном переходе может возникать как ситуация потери корней, так и ситуация приобретения посторонних решений.

Уравнение вида (g(x))2n+1=(p(x))2n+1, где n – натуральное число, в силу свойств степенной функции с нечетным натуральным показателем равносильно уравнению g(x)=p(x). Отметим, что уравнение вида (g(x))2n=(p(x))2n, где n – натуральное число, в силу свойств степенной функции с четным натуральным показателем равносильно не уравнению g(x) = p(x), а совокупности
й
к
к
к
л
p(x) = q(x),
p(x) = - q(x).

Приведем решения ряда целых алгебраических уравнений вида fn(x) = gn(x).


2.1.B01

б) Решите уравнение
ж
и 		x2-  1
32
 x-  1
96
 ц
ш 		3

 
8
 =
ж
и 		x2-  3
64
 x+  1
64
 ц
ш 		3

 
27
 .

Решение. Кубы двух выражений равны тогда и только тогда, когда равны сами выражения. Значит,
x2-  1
32
 x-  1
96
2
 =
x2-  3
64
 x+  1
64
3
 Ы3x2-  3
32
 x-  1
32
 =2x2-  3
32
 x+  1
32
 Ы x2=  1
16
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  1
4
 ,
x=-  1
4
 .

Ответ:


-  1
4
 ;  1
4

.


2.1.B09

б) Решите уравнение (x2-12x+10)4=(3x+10)4.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
x2-12x+10=3x+10,
x2-12x+10=-3x-10,
откуда
й
к
к
к
л
x2-15x=0,
x2-9x+20=0.

Решив первое уравнение, найдем 
й
к
к
к
л
x=0,
x=15.

Решив второе уравнение, получим 
й
к
к
к
л
x=4,
x=5.

Ответ:

0;4;5;15.


2.1.B12

a) Решите уравнение
(4x2+3x-10)2=9x4.

Решение. Уравнение равносильно совокупности

й
к
к
к
л
4x2+3x-10=3x2,
4x2+3x-10=-3x2,
откуда
й
к
к
к
л
x2+3x-10=0,
7x2+3x-10=0.

Решив первое уравнение, получим
й
к
к
к
л
x=-5,
x=2.

Решив второе уравнение, найдем
й
к
к
к
к
к
л
x=1,
x=-  10
7
 .

Ответ:


-5;2;1;-  10
7

.


2.1.D01

б) Решите уравнение (12x-49)25+(2x+7)50=0.

Решение.
(12x-49)25+(2x+7)50=0 Ы((2x+7)2)25=-(12x-49)25Ы(4x2+28x+49)25=(-12x+49)25.

В силу того, что m25=n25 Ы m=n, полученное уравнение равносильно следующему:
4x2+28x+49=-12x+49 Ы 4x2+40x=0 Ы й
к
к
к
л
x=0,
x=-10.

Ответ:

-10;0.

Следующая группа задач – уравнения и системы, содержащие знак абсолютной величины (модуля). Одним из наиболее известных методов решения уравнений с модулем является метод промежутков. Суть метода заключается в следующем. Числовая ось разбивается на несколько промежутков точками, в которых выражения, содержащие неизвестную под знаком модуля, обращаются в нуль. На любом из этих промежутков модуль каждого из таких выражений раскрывается либо со знаком "плюс", либо со знаком "минус". Затем на каждом промежутке находится решение данного уравнения, уже не содержащего знаков модуля. Последний шаг – объединение найденных решений. Решение систем уравнений, содержащих модуль, также часто сводится к рассмотрению нескольких случаев, в каждом из которых приходится решать систему уравнений, уже не содержащих знаков абсолютной величины.

Еще один метод решения уравнений с модулем основан на применении равносильных преобразований. Одно из них связано со следующим утверждением: если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве, то возведение в квадрат обеих частей такого уравнения не приводит ни к потере, ни к приобретению решений на этом множестве, т. е. является равносильным преобразованием. Так, если g(x) < 0, то уравнение | f(x) | = g(x) не имеет решений, а в противном случае возведение в квадрат обеих частей такого уравнения является равносильным преобразованием. Поэтому (напомним, что квадрат модуля числа равен квадрату самого числа: | a |2 = a2)
| f(x) | = g(x) Ы м
п
п
н
п
п
о
l g(x) і 0,
f2(x) = g2(x),
Ы м
п
п
н
п
п
о
l g(x) і 0,
[
l f(x) = g(x),
f(x) = - g(x),
причем, как правило, уравнения решаются, а неравенство проверяется.

Какой способ – метод промежутков или указанное преобразование – выбирать для решения таких уравнений, зависит от того, какая из функций f(x) или g(x) имеет более простой вид.

Аналогичным образом обстоит дело с уравнением вида |p(x)| = |q(x)|. Это уравнение в силу приведенного утверждения равносильно уравнению p2(x) = q2(x), откуда
[
l p(x) = q(x),
p(x) = - q(x).
Заметим, что последнюю совокупность можно получить, не возводя обе части уравнения |p(x)| = |q(x)| в квадрат, а исходя из определения модуля.

Кроме того, полезно обратить внимание учащихся на некоторые свойства модуля, непосредственно следующие из его определения:
| f(x) | = f(x) Ы f(x) і 0,   | f(x) | = - f(x) Ы f(x) Ј 0.

Приведем решения нескольких уравнений с модулем.


2.1.B11

a) Решите уравнение
 |x-25|
x
 =-6.

Решение. При x № 0 данное уравнение равносильно следующему:
|x-25|=-6x.

Заметив, что левая часть данного уравнения неотрицательна, с учетом условия x № 0, получим, что x < 0.

При x < 0 уравнение принимает вид -x+25=-6x Ы 5x+25=0 Ы x=-5.

Ответ:

-5.


2.1.C07

б) Решите уравнение
|x2-11x+24|=|x2-12|.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
x2-11x+24=x2-12,
x2-11x+24=-x2+12.

Уравнение x2-11x+24=x2-12 равносильно уравнению 11x=36 Ы
x=  36
11

.

Уравнение x2-11x+24=-x2+12 равносильно уравнению
2x2-11x+12=0 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=4,
x=  3
2
 .

Ответ:


 36
11
 ;4;  3
2

.


2.1.C11

a) Решите уравнение
|5x-24|=x2+2x+6.

Решение. x2+2x+6 > 0, поскольку дискриминант этого трехчлена отрицателен.

Уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
л
5x-24=x2+2x+6,
5x-24=-x2-2x-6,
 Ы й
к
к
к
л
x2-3x+30=0,
x2+7x-18=0.

Дискриминант первого уравнения отрицателен.

Корни второго уравнения: x=-9; x=2.

Ответ:

-9;2.

 Глава 1. § 4  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100