Книга для учителя МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 2. Рациональные уравнения
Продолжение


2.2.D06

б) Решите уравнение 
 25
|x2-10x|
 =  1
4
 -  5
2x

.

Решение. Перейдем к равносильному уравнению
 25
|x2-10x|
 =  x-10
4x

. Из полученного уравнения следует, что
 x-10
4x
 > 0

, откуда x > 10 или x < 0.

При x > 10 уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
(x-10)2=100,
x-10 > 0
 Ы x-10=10 Ы x=20.

При x < 0 уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
(x-10)2=100,
x-10 < 0
 Ы x-10=-10 Ы x=0.

Значение x=0 не удовлетворяет условию x № 0.

Ответ:

20.

Следующая группа упражнений – уравнения, решаемые заменой переменной.


2.2.A04

б) Решите уравнение 1-4(x+7)-1+4(x+7)-2=0.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=(x+7)-1. Уравнение примет вид
1-4y+4y2=0 Ы (1-2y)2=0 Ы y=  1
2
 .

Сделаем обратную замену:
(x+7)-1=  1
2
 Ы x+7=2 Ы x=-5

.

Ответ:

-5.


2.2.B03

a) Найдите наибольший корень уравнения
x2-x=32-  60
x2-x
 .

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=x2-x. Уравнение принимает вид 
y=32-  60
y

.

Перейдем к равносильной системе:
м
п
н
п
о
y2-32y+60=0,
y № 0,
 Ы й
к
к
к
л
y=2,
y=30.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
л
x2-x=2,
x2-x=30
 Ы й
к
к
к
л
x2-x-2=0,
x2-x-30=0,
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-1,
x=-5,
x=2,
x=6.

Наибольший корень: x=6.

Ответ:

6.


2.2.D03

a) Решите уравнение
(-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=-3|x|(x2+3|x|-7)-1.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть y=(-3|x|)-1(x2+3x-7). Уравнение принимает вид
y=y-1 Ы y=  1
y
 Ы й
к
к
к
л
y=1,
y=-1.

Решим уравнение (-3|x|)-1(x2+3x-7)=1:

(-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=1 Ыx2+3|x|-7=-3|x| Ы x2+6|x|-7=0.

Полученное уравнение является квадратным относительно |x|. Согласно теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна -6, а их произведение равно -7. Корнями являются числа -7;1.

Уравнение |x|=-7 не имеет решений, а из уравнения |x|=1 находим
й
к
к
к
л
x=1,
x=-1.

Решив уравнение (-3|x|)-1(x2+3|x|-7)=-1.
Оно равносильно уравнению
x2+3|x|-7=3|x| Ыx2-7=0 Ы й
к
к
к
л
x=Ц7,
x=-Ц7.

Ответ:

1;-1;Ц7;-Ц7.


2.2.D11

б) Решите уравнение 
 x2+2x+5
x2+x+5
 -  3x
x2+2x+5
 =1

.

Решение. Заметим, что при x=0 уравнение обращается в верное равенство.

Пусть теперь x № 0. Тогда данное уравнение равносильно уравнению 
x+2+  5
x
x+1+  5
x
 -  3
x+2+  5
x
 =1

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
y=x+1+  5
x

. Уравнение принимает вид 
 y+1
y
 -  3
y+1
 =1

.

Полученное уравнение равносильно системе
м
п
п
н
п
п
о
(y+1)(y+1)-3y=y(y+1),
y № 0,
y+1 № 0
 Ы м
п
п
н
п
п
о
2y-1=0,
y № 0,
y № -1.

Решим уравнение, получим 
y=  1
2

.

Сделаем обратную замену: 
x+1+  5
x
 =  1
2

. Приведем уравнение к квадратному с целыми коэффициентами: 2x2+x+10=0.

Вычислим дискриминант: D=12-4·2·10=-79.

Дискриминант отрицателен. Уравнение не имеет решений. Следовательно, единственное решение данного уравнения: x=0.

Ответ:

0.

К рассмотренной группе задач примыкает и уравнение 2.2.D05. Это уравнение является однородным уравне- нием второго порядка, т. е. уравнением вида a ·f2(x)+ b ·f(x) ·g(x) + c ·g2(x) = 0. Напомним, что такое уравнение сводится к квадратному уравнению после деления обеих частей на g2(x) и введения новой переменной
t=  f(x)
g(x)

. Следует подчеркнуть, что при делении на g2(x) может произойти потеря корней уравнения, поэтому обязательной является проверка тех значений x, при которых g2(x)=0. Если эти значения x являются корнями данного уравнения, то их также следует включить в ответ. Другой способ решения этого уравнения состоит в рассмотрении его как квадратного относительно одной из функций f(x) или g(x).


2.2.D05

a) Решите уравнение
ж
и 		 x-1
x+5
 ц
ш 		2

 
 +14·  x2-1
x2-25
 -15 ж
и 		 x+1
x-5
 ц
ш 		2

 
 =0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
ж
и 		 x-1
x+5
 ц
ш 		2

 
 +14·  x-1
x+5
 ·  x+1
x-5
 -15 ж
и 		 x+1
x-5
 ц
ш 		2

 
 =0.

Сделаем замену переменной. Пусть 
u=  x-1
x+5

,
v=  x+1
x-5

. Уравнение принимает вид u2+14uv-15v2=0.

Полученное уравнение решим как квадратное относительно переменной u:
й
к
к
к
л
u=v,
u=-15v.

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
 x-1
x+5
 =  x+1
x-5
 ,
 x-1
x+5
 =-15·  x+1
x-5
 .

Решим первое уравнение:
 x-1
x+5
 =  x+1
x-5
 Ы м
п
п
н
п
п
о
x2-6x+5=x2+6x+5,
x № 5,
x № -5
 Ы м
п
п
н
п
п
о
12x=0,
x № 5,
x № -5
 Ы x=0.

Решим второе уравнение:
 x-1
x+5
 =-15·  x+1
x-5
 Ы м
п
п
н
п
п
о
x2-6x+5=-15(x2+6x+5),
x № 5,
x № -5
Ы м
п
п
н
п
п
о
16x2+84x+80=0,
x № 5,
x № -5
 Ы й
к
к
к
к
к
л
x=-4,
x=-  5
4
 .

Ответ:


-4;-  5
4
 ;0

.

Приведем решения ряда упражнений, связанных с функциональной символикой или содержащих дополнительные задания.


2.2.B08

a) Найдите координаты общих точек графиков функций 
f (x)=  1
|x+2|

и 
g (x)=  4
3-x

.

Решение. Составим по условию задачи уравнение: 
 1
|x+2|
 =  4
3-x

.

При x > -2 уравнение принимает вид
 1
x+2
 =  4
3-x
 Ы м
п
н
п
о
3-x=4x+8,
x № 3
 Ы м
п
н
п
о
5x=-5,
x № 3
 Ы x=-1.

При x < -2 уравнение принимает вид
 1
-2-x
 =  4
3-x
 Ы 3-x=-8-4x Ы 3x=-11 Ы x=-  11
3
 .

Найдем ординаты общих точек графиков: g (-1)=1;
g ж
и 		-  11
3
 ц
ш 		=  3
5
 .

Ответ:


(-1;1); ж
и 		-  11
3
 ;  3
5
 ц
ш 		.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100