Книга для учителя МЦНМО 2003

 § 3  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений

§ 4. Тригонометрические уравнения

Основная идея решения тригонометрических уравнений заключается в их последовательном упрощении и — в итоге — сведении к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям, т. е. к уравнениям вида sinx = a, cosx = a, tanx = a,
ctg
x = a

. Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений приводятся в любом учебнике и должны быть хорошо известны учащимся. Часто вместо перехода от уравнения cos(f(x)) = m (где | m | Ј 1) к уравнению f(x) = ±arccosm +2pk,  k О Z бывает целесообразно перейти к совокупности
[
l f(x) = arccosm + 2pk,
f(x) = - arccosm + 2pn,
k О Z,n О Z.
Аналогичное замечание справедливо для уравнения вида sin(f(x)) = m (где |m| Ј 1). Соответствующая совокупность в этом случае имеет вид:
й
к
к
к
к
к
л
l f(x) = arcsinm + 2pk,
f(x) = p- arcsinm + 2pn,
  k О Z,  n О Z.

Уравнение tan(f(x)) = m равносильно уравнению f(x) = \arctg m + pn,  n О Z, а уравнение
ctg
(f(x)) = m

 — уравнению f(x) = \arcctgm + pn,  n О Z. Конечно, возможно и использование общеизвестных формул. Например, уравнение  sinf(x) = m при |m| Ј 1 равносильно уравнению f(x)=(-1)narcsinm +pn, n О Z.

Отметим, что сборник не содержит систем тригонометрических уравнений и сложных уравнений, решаемых особыми способами. Так все уравнения уровня А и некоторые уравнения уровня В сводятся линейными преобразованиями к уравнениям одного из трех видов: cos(ax+b)=m, sin(ax+b)=m, tan(ax+b)=m.

Приведем решения некоторых упражнений.


2.4.A02

б) Решите уравнение 
Ц3tan ж
и 		-2x+  p
7
 ц
ш 		+3=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
Ц3tan ж
и 		-2x+  p
7
 ц
ш 		=-3 Ыtan ж
и 		-2x+  p
7
 ц
ш 		=-Ц3 Ы-2x+  p
7
 =\arctg (-Ц3)+pn,n О Z Ы-2x+  p
7
 =-  p
3
 +pn,n О ZЫ -2x = -  10p
21
 +pn,n О ZЫ x=  5p
21
 -  pn
2
 ,n О Z.

Ответ:


 5p
21
 -  pn
2
 ,n О Z

.


2.4.A04

a) Решите уравнение 
5sin ж
и 		3x+  7p
5
 ц
ш 		=-1.

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5:
sin ж
и 		3x+  7p
5
 ц
ш 		=-  1
5
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
3x+  7p
5
 =arcsin ж
и 		-  1
5
 ц
ш 		+2pn,
3x+  7p
5
 = p-arcsin ж
и 		-  1
5
 ц
ш 		+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
3x=-arcsin  1
5
 -  7p
5
 +2pn,
3x = arcsin  1
5
 -  2p
5
 +2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=-  arcsin[(1)/(5)]
3
 -  7p
15
 +  2pn
3
 ,
x =  arcsin[(1)/(5)]
3
 -  2p
15
 +  2pn
3
 ,n О Z.

Ответ:


-  1
3
 arcsin  1
5
 -  7p
15
 +  2pn
3
 ;  1
3
 arcsin  1
5
 -  2p
15
 +  2pn
3
 ;n О Z

.


2.4.A06

б) Решите уравнение 
2cos ж
и 		4x+  p
15
 ц
ш 		-Ц2=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
2cos ж
и 		4x+  p
15
 ц
ш 		=Ц2Ыcos ж
и 		4x+  p
15
 ц
ш 		=  Ц2
2
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
4x+  p
15
 =arccos  Ц2
2
 +2pn,
4x+  p
15
 =-arccos  Ц2
2
 +2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
4x+  p
15
 =  p
4
 +2pn,
4x+  p
15
 = -  p
4
 +2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
4x=  11p
60
 +2pn,
4x=-  19p
60
 +2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  11p
240
 +  pn
2
 ,
x=-  19p
240
 +  pn
2
 ,n О Z.

Ответ:


 11p
240
 +  pn
2
 ;-  19p
240
 +  pn
2
 ;n О Z

.

Большинство тригонометрических уравнений может быть отнесено к одной из двух следующих групп:

Среди упражнений уровней В и С есть ряд уравнений, сводящихся к равенству одноименных тригонометрических функций. Эти уравнения могут быть решены как разложением на множители (с использованием формул суммы или разности синусов или косинусов), так и с использованием условий равенства таких функций.

Приведем соответствующие равносильные переходы:
cos(f(x)) = cos(g(x)) Ы[
l f(x) = g(x) + 2pk,
f(x) = - g(x) + 2pn,


sin(f(x)) = sin(g(x)) Ы[
l f(x) = g(x) + 2pk,
f(x) = p- g(x) + 2pn,


tan(f(x)) = tan(g(x)) Ы{
l f(x) = g(x) + pk,
f(x) № [(p)/(2)] + pn,


ctg
(f(x)) = ctg
(g(x)) Ы м
п
п
н
п
п
о
l f(x) = g(x) + pk,
f(x) № pn,


(k О Z,n О Z)

Заметим также, что уравнения вида sin(f(x)) = cos(g(x)) и 
tan(f(x)) = ctg
(g(x))

с помощью формул приведения сводятся соответственно к уже рассмотренным уравнениям
sin(f(x)) = sin ж
и 		 p
2
 - g(x) ц
ш

и 
tan(f(x)) = tan ж
и 		 p
2
 - g(x) ц
ш

.

Приведем решения ряда упражнений.


2.4.B09

a) Решите уравнение 
cos ж
и 		2x-  7p
8
 ц
ш 		=cos ж
и 		 2p
7
 -x ц
ш

.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
й
к
к
к
к
к
к
к
л
2x-  7p
8
 =  2p
7
 -x+2pk,
2x-  7p
8
 =x-  2p
7
 +2pk,k О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
3x=  2p
7
 +  7p
8
 +2pk,
x=  7p
8
 -  2p
7
 +2pk,k О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  65p
168
 +  2pk
3
 ,
x=  33p
56
 +2pk,k О Z.

Ответ:


 65p
168
 +  2pk
3
 ;  33p
56
 +2pk;k О Z

.


2.4.C02

б) Решите уравнение sin412x-cos412x=cos9x.

Решение. Применим к левой части уравнения формулу разности квадратов:
ж
и 		sin212x-cos212x ц
ш 		ж
и 		sin212x+cos212x ц
ш 		=cos9xЫ sin212x-cos212x=cos9xЫ cos24x=-cos9xЫ cos24x=cos(9x+p)Ы й
к
к
к
л
24x=9x+p+2pn,
24x=-9x-p+2pn,n О Z
Ы й
к
к
к
л
15x=p+2pn,
33x=2pn-p, n О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  2pn+p
15
 ,
x=  2pn-p
33
 ,n О Z.

Ответ:


 2pn+p
15
 ;  2pn-p
33
 ;n О Z

.
 § 3  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100