Книга для учителя	МЦНМО 2003

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение

2.4.C03

б) Решите уравнение

sin

ж
и

ц
ш

=cos

ж
и

3x+

ц
ш

Решение. Воспользуемся формулой приведения:

sin

ж
и

ц
ш

=cos

ж
и

ц
ш

=cos

ж
и

-x

ц
ш

Уравнение принимает вид

cos

ж
и

-x

ц
ш

=cos

ж
и

3x+

ц
ш

Полученное уравнение равносильно совокупности

й
к
к
к
к
к
к
к
л

-x=3x+

+2pk,

-x=-

-3x+2pk,k О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

4x=

+2pk,

2x=-

+2pk,k О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

x=-

120

x=-

71p

+pk,k О Z.

Ответ:

120

71p

+pk;k О Z

2.4.D05

a) Решите уравнение

sin²x+sin²5x+sin²7x+sin²11x=2.

Решение. Применим ко всем слагаемым формулу понижения степени.

1-cos2x

1-cos10x

1-cos14x

1-cos22x

Ы cos2x+cos10x+cos14x+cos22x=0.

Сгруппировав два крайних и два средних слагаемых, воспользуемся формулой суммы косинусов:

2cos12xcos10x+2cos12xcos2x=0 Ы cos12x(cos10x+cos2x)=0Ы

й
к
к
к
л

cos12x=0,

cos10x+cos2x=0.

Решим первое уравнение:

cos12x=0Ы 12x=

+pn,n О ZЫ x=

,n О Z

Второе уравнение запишем в виде

cos10x=-cos2xЫ cos10x=cos(2x+p)Ы

й
к
к
к
л

10x=2x+p+2pn,

10x=-2x-p+2pn,n О Z

й
к
к
к
л

8x=p+2pn,

12x=-p+2pn,n О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

x=-

,n О Z.

Ответ:

;

;n О Z

Ряд задач этой главы содержит дополнительные задания по отбору корней, а в некоторых уравнениях отбор корней обусловлен областями определения функций в левой или правой частях уравнения. Такой отбор можно проводить с помощью единичной окружности (правда, при этом иногда приходится изображать на ней довольно большое число точек). Исключив те точки, которые не удовлетворяют условию задачи или введенным ограничениям, следует записать ответ в возможно более компактной форме. Для этого следует обратить внимание на точки, являющиеся концами диаметров единичной окружности, точки, симметричные относительно оси абсцисс (они соответствуют числам ±a), и точки, получающиеся последовательными поворотами некоторой из них на один и тот же угол, равный

(p — натуральное число). При таком подходе к отбору корней можно обойтись без решения линейных уравнений в целых числах. Эти уравнения имеют вид ax+by = c (где a, b, c — целочисленные коэффициенты, x и y — целочисленные неизвестные) и называются диофантовыми уравнениями (по имени древнегреческого ученого Диофанта, жившего в III веке). Диофантовы уравнения имеют, как правило, бесконечно много решений, и поэтому иногда их называют неопределенными уравнениями. Изложение общего метода решения линейных диофантовых уравнений займет много места (да оно и выходит за рамки этого пособия). Заметим лишь, что при отборе корней тригонометрических уравнений без использования тригонометрической окружности обычно достаточно использовать свойства делимости целых чисел и, в частности, свойства четности и нечетности. Покажем на примере, как применяются эти свойства. Пусть, например, нужно найти решения уравнения

sin8x

sinx

= 1

. Это уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

l sin8x = sinx,

sinx № 0.

Таким образом, из решений

x =

2pn

уравнения системы нужно исключить числа x = pk (m О Z, n О Z, k О Z). Найдем сначала, при каких целых m и k выполняется равенство

pm = pk

. Это равенство легко приводится к виду 2m = 7k. Левая часть последнего равенства является четным числом. Поэтому правая часть также должна быть четным числом, что возможно, только если k является четным числом, т. е. k=2l, l О Z. При этом 2m = 7 ·2l, откуда m=7l. Следовательно, целые числа вида m=7l нужно исключить из решений

x =

. Далее найдем, при каких целых n и k выполняется равенство

2pn

= pk

. Это равенство приводится к виду 2n+1=9k. Левая часть последнего равенства является нечетным числом. Поэтому правая часть также должна быть нечетным числом, что возможно, только если k является нечетным числом, т. е. k=2l+1, l О Z. При этом 2n+1=9(2l+1), откуда находим, что n=9l+4. Следовательно, целые числа вида n=9l+4 также нужно исключить из решения. Рассуждая аналогично, в большинстве случаев при отборе корней действительно удается ограничиться применением свойств делимости целых чисел, а не решать диофантовы уравнения в общем виде (напомним, что другой способ отбора основан на использовании тригонометрической окружности). Разумеется, среди упражнений уровней А и В подобных задач нет. Приведем решения некоторых уравнений.

2.4.B04

a) Решите уравнение tan(2x-5)=tan(x+3).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

2x-5=x+3+pn,n О Z,

2x-5 №

+pk,k О Z.

Решим уравнение. 2x-5=x+3+pn,n О Z Ы x=8+pn,n О Z.

Если x=8+pn, то

2x-5=11+2pn №

+pk

Следовательно, неравенство системы выполняется для всех найденных x.

Ответ:

8+pn,n О Z.

2.4.B07

б) Найдите корни уравнения

2cos

ж
и

2px-

ц
ш

-1=0,

удовлетворяющие условию -1 < x < 1.

Решение. Разделим обе части уравнения на 2:

cos

ж
и

2px-

ц
ш

=0Ыcos

ж
и

2px-

ц
ш

й
к
к
к
к
к
к
к
л

2px-

+2pk, k О Z,

2px-

+2pn,n О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

2x-

+2k, k О Z,

2x-

= -

+2n,n О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

+k, k О Z,

x=-

+n,n О Z.

Отберем корни, удовлетворяющие условию -1 < x < 1.

Пусть

. Решим неравенство

-1 <

+k < 1Ы -

< k <

, откуда k=-1 или k=0.

Тогда

й
к
к
к
к
к
к
к
л

x=-

Пусть теперь

x=-

. Решим неравенство

-1 < -

+n < 1

< n <

, откуда n=0 или n=1.

Тогда

й
к
к
к
к
к
к
к
л

x=-

Ответ:

;

2.4.B11

a) Найдите наименьший положительный корень уравнения

sin(2x-6)=

-2Ц2

2Ц5-4

Решение. Преобразуем правую часть уравнения:

-2Ц2

2Ц5-4

Ц2(Ц5-2)

2(Ц5-2)

Ц2

. Уравнение принимает вид

sin(2x-6)=

Ц2

й
к
к
к
к
к
к
к
л

2x-6=

+2pk, k О Z,

2x-6=p-

+2pn,n О Z

й
к
к
к
к
к
к
к
л

+3+pk, k О Z,

+3+pn,n О Z.

Найдем наименьший положительный корень среди корней вида

+3+pk, k О Z

. Наименьший положительный корень получается при k=-1:

24-7p

Найдем наименьший положительный корень среди корней вида

+3+pn,n О Z

. Наименьший положительный корень равен

24-5p

Из двух полученных чисел нужно выбрать наименьшее:

24-7p

Ответ:

24-7p

Назад | Оглавление | Продолжение

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.