Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п п н п п п о 3x+  7p 4 =  13p 4 +6x+pn,n О Z, 3x+  7p 4 №  p 2 +pk,k О Z.

Решим уравнение. Приведя подобные члены, найдем

-3x=

3p 2

+pn,n О Z

Ы

x=-

p 2

-

pn 3

,n О Z

.

Осталось исключить корни, для которых

3·

ж и

-

p 2

ц ш

-pn+

7p 4

=

p 2

+pk

Ы

-

1 4

=k+n

Ы -4k-4n=1.

Полученное уравнение не имеет решений в целых числах, так как правая часть не делится на 2, а левая — делится.

Следовательно, все найденные корни удовлетворяют неравенству

3x+

7p 4

№

p 2

+pk,k О Z

.

Ответ:

-

p 2

-

pn 3

,n О Z

.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:

ctg

ж и

-

p 4

-2x

ц ш

=tan

ж и

p 2

-

ж и

-

p 4

-2x

ц ш

ц ш

=tan

ж и

3p 4

+2x

ц ш

.

Уравнение принимает вид

tan

ж и

9x-

5p 8

ц ш

=tan

ж и

3p 4

+2x

ц ш

.

Полученное уравнение равносильно системе:

м п п п н п п п о 9x-  5p 8 =  3p 4 +2x+pn,n О Z, 9x-  5p 8 №  p 2 +pk,k О Z Ы м п п п н п п п о 7x=  11p 8 +pn,n О Z, 9x-  5p 8 №  p 2 +pk,k О Z.

Выразим x из уравнения 

7x=

11p 8

+pn,n О Z

. Получим

x=

11p 56

+

pn 7

,n О Z

.

Осталось найти n, при которых неравенство 

9x-

5p 8

№

p 2

+pk,k О Z

не выполняется хотя бы при одном k. Составим уравнение относительно n и k:

99p 56

+

9pn 7

-

5p 8

=

p 2

+pkЫ

72n+64 56

=

56k+28 56

Ы 56k-72n=36Ы 14k-18n=9

.

Поскольку левая часть уравнения является четным числом при любых целых значениях k и n, а правая часть — нечетное число, то уравнение не имеет целочисленных решений. Условие 

9x-

5p 8

№

p 2

+pk

выполняется при всех целых значениях k. Поэтому все найденные числа являются корнями данного уравнения.

Ответ:

x=

11p 56

+

pn 7

,n О Z

.

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности

й к к к к к к к л sin ж и x+  p 6 ц ш =0, cos ж и 3x-  p 4 ц ш =0

Ы

й к к к к к к к л x+  p 6 =pk,k О Z 3x-  p 4 =  p 2 +pn,n О Z Ы й к к к к к к к л x=-  p 6 +pk,k О Z, x=  p 4 +  pn 3 ,n О Z.

Найдем наименьшее k, при котором 

-

p 6

+pk

положительно:

-

p 6

+pk > 0

Ы

k >

1 6

. Наименьшее целое k равно 1. При этом 

x=

5p 6

.

Найдем наименьшее n, при котором 

p 4

+

pn 3

положительно:

p 4

+

pn 3

> 0

Ы

n > -

3 4

. Наименьшее целое n равно 0. При этом 

x=

p 4

.

Выбрав из двух чисел наименьшее, находим 

x=

p 4

.

Ответ:

p 4

.

Решение. Воспользуемся формулой приведения:

tan

ж и

p 4

+

2px 5

ц ш

=

ctg

ж и

p 2

-

p 4

-

2px 5

ц ш

=

ctg

ж и

p 4

-

2px 5

ц ш

.

Данное уравнение принимает вид

ctg

ж и

7p 4

-

px 5

ц ш

=

ctg

ж и

p 4

-

2px 5

ц ш

.

Полученное уравнение равносильно системе

м п п п н п п п о  7p 4 -  px 5 =  p 4 -  2px 5 +pn,n О Z,  7p 4 -  px 5 № pk,k О Z.

Решим уравнение системы. Приведя подобные члены, получим

px 5

=-

3p 2

+pn,n О Z

Ы

x=-

15 2

+5n,n О Z

.

Полученные значения удовлетворяют условию

7p 4

-

px 5

№ pk,k О Z

.

Решим неравенство 

-

15 2

+5n > 0

Ы

n >

3 2

. Следовательно, учитывая, что n — целое число, получаем n і 2.

Таким образом, положительные корни данного уравнения в порядке возрастания образуют арифметическую прогрессию с первым членом 

x1=

5 2

и разностью d=5.

Найдем сумму 48 положительных корней по формуле суммы первых членов арифметической прогрессии.

S=

2x1+d(48-1) 2

·48

. Вычислив сумму, получим

S= 2·  5 2 +5·47 2 ·48=5760.

Ответ:

5760.

 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.