Книга для учителя МЦНМО 2003

 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Продолжение


2.4.D08

a) Решите уравнение 
 cos9x-sin7x
sin9x-cos7x
 =Ц3

.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
cos9x-sin7x=Ц3(sin9x-cos7x),
sin9x № cos7x.

Решим уравнение системы:
cos 9x-sin7x=Ц3(sin9x-cos7x)Ы cos9x-Ц3sin9x=sin7x-Ц3cos7xЫ 2cos ж
и 		9x+  p
3
 ц
ш 		=-2cos ж
и 		7x+  p
6
 ц
ш 		Ы Ыcos ж
и 		9x+  p
3
 ц
ш 		=cos ж
и 		7x+  7p
6
 ц
ш 		Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
7x+  7p
6
 =9x+  p
3
 +2pn,
7x+  7p
6
 =-9x-  p
3
 +2pn,n О Z,
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
-2x=-  5p
6
 +2pn,
16x=-  3p
2
 +2pn,n О Z
Ы
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  5p
12
 -pn,
x=-  3p
32
 +  pn
8
 ,n О Z.

Теперь решим уравнение sin9x-cos7x=0:
cos ж
и 		 p
2
 -9x ц
ш 		=cos7x Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
7x=  p
2
 -9x+2pk,
7x=-  p
2
 +9x+2pk,k О Z
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
16x=  p
2
 +2pk,
-2x=-  p
2
 +2pk,k О Z
 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p
32
 +  pk
8
 ,
x=  p
4
 -pk,k О Z.

Осталось проверить, нет ли среди решений уравнения cos9x-sin7x=Ц3(sin9x-cos7x) чисел, удовлетворяющих уравнению sin9x-cos7x=0. Если такие корни найдутся, то их нужно отбросить как посторонние.

Корни уравнения cos9x-sin7x=Ц3(sin9x-cos7x) вида 
x=-  3p
32
 +  pn
8
 ,n О Z

являются посторонними, поскольку их множество совпадает с множеством чисел 
x=  p
32
 +  pk
8
 ,

k О Z. Действительно, достаточно сделать замену: k=n-1. Тогда
x=  p
32
 +  p(n-1)
8
 =  p
32
 -  p
8
 +  pn
8
 =-  3p
32
 +  pn
8
 ,n О Z

.

Числа 
x=  5p
12
 -pn,n О Z

не содержатся среди чисел 
x=  p
32
 +  pn
8
 ,n О Z

и 
x=  p
4
 -pn,n О Z

. Действительно, условие
 5p
12
 -pn №  p
4
 -pk

(которое приводится к виду 6n-6k № 1) выполняется при всех целых n и k. Кроме того,
 p
32
 +  pk
8
 =  5p
12
 -pn

Ы 12k+96n=37. Полученное уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть — четное число, а правая часть — нечетное число.

Ответ:


 5p
12
 -pn,n О Z

.


2.4.D10

a) Решите уравнение 
 tan4x
tan14x
 =0

.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
н
п
о
tan4x=0,
tan14x № 0
 Ы м
п
н
п
о
4x=pn,n О Z,
14x № pk,k О Z
 Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
x=  pn
4
 ,n О Z,
x №  pk
14
 ,k О Z.

Найдем n, при которых
 pn
4
 =  pk
14

: 7n=2k.

Поскольку 7 и 2 взаимно просты, полученное равенство верно только при n, делящемся на 2. Итак,
x=  pn
4

, где n=2l+1, l О Z, откуда
x=  (2l+1)p
4
 , l О Z

.

Ответ:


 (2l+1)p
4
 ,l О Z

.


2.4.D11

б) Решите уравнение 
cos ж
и 		3x+  p
3
 ц
ш
sin ж
и 		 x
9
 -  p
3
 ц
ш
=0

.

Решение. Данное уравнение равносильно системе
м
п
п
п
н
п
п
п
о
cos ж
и 		3x+  p
3
 ц
ш 		=0,
sin ж
и 		 x
9
 -  p
3
 ц
ш 		№ 0
 Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
3x+  p
3
 =  p
2
 +pn,n О Z,
 x
9
 -  p
3
 № pk,k О Z
Ы м
п
п
п
н
п
п
п
о
x=  p
18
 +  pn
3
 ,n О Z,
 x
9
 -  p
3
 № pk,k О Z.

Подставим найденное выражение в неравенство
 x
9
 -  p
3
 № pk,k О Z

:
 p
162
 +  pn
27
 -  p
3
 № pk

Ы
 n
27
 № k+  53
162

Ы
n-27k №  53
6

.

Полученное неравенство выполняется при всех целых n и k, так как его правая часть не является целым числом.

Ответ:


 p
18
 +  pn
3
 ,n О Z

.

Среди тригонометрических уравнений уровней С и D встречаются как уравнения, решение которых основано на преобразованиях тригонометрических выражений, так и уравнения, сводимые к алгебраическим с помощью замены переменной.

В случае, если в уравнении присутствуют только четные степени синуса и косинуса, его можно свести к более простому, использовав формулы понижения степени. Если уравнение содержит сумму двух или более тригонометрических функций, его иногда удается упростить с помощью формул суммы двух тригонометрических функций, преобразовав такую сумму в произведение нескольких сомножителей, после чего решение уравнения сводится к решению совокупности простейших тригонометрических уравнений. Уравнения, в которых встречаются выражения вида asinx + bcosx часто удается упростить, преобразовав такое выражение с помощью формул вспомогательного аргумента (см. главу 1).

Прежде чем переходить к решению упражнений, сделаем несколько замечаний об уравнениях, сводящихся к алгебраическим. Если в уравнении вида f(sinx;cosx) = 0 (здесь f(sinx;cosx) — выражение, зависящее от синусов и косинусов) в левой части есть только четные степени косинуса, то следует воспользоваться равенством cos2x = 1 - sin2x, после чего свести уравнение к алгебраическому заменой a = sinx,  | a | Ј 1. Аналогично, если в левой части такого уравнения есть только четные степени синуса, то уравнение сводится к алгебраическому заменой a = cosx,  | a | Ј 1. Однородное уравнение вида asin2x +bsinxcosx + ccos2x = 0 сводится к квадратному заменой z = tanx (после деления на cos2x) или
z = ctg
x

(после деления на sin2x). Уравнение asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d сводится к однородному с помощью тождества d = d(sin2x + cos2x) (иногда такое преобразование называют умножением на тригонометрическую единицу).

Отдельного замечания заслуживает универсальная тригонометрическая подстановка. Вообще говоря, любое тригонометрическое уравнение вида f(sinx;cosx) = 0 может быть сведено к алгебраическому уравнению относительно новой переменной
z = tan  x
2

с помощью формул
sinx =
2tan  x
2
1 + tan2  x
2

и 
cosx =
1 - tan2  x
2
1 + tan2  x
2

(поэтому такая подстановка и называется универсальной). Отметим, что эти формулы не являются тождествами: они справедливы, только если
cos  x
2
 № 0

. Поэтому случай, когда
cos  x
2
 = 0

, т. е. когда x = p+ 2pn,  n О Z, при решении уравнения этим способом должен быть рассмотрен отдельно. Если такие значения x являются решениями исходного уравнения (это проверяется подстановкой значений x = p+ 2pn,  n О Z в исходное уравнение), то их также следует включить в ответ. Таким образом, решение уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки требует повышенного внимания и осторожности. Кроме того — и это самое главное — довольно трудно придумать уравнение, решение которого возможно только с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Другие способы, как правило, оказываются более эффективными и короткими. Поэтому рекомендовать использование универсальной тригонометрической подстановки в качестве метода решения уравнений можно лишь со значительными оговорками. Среди задач сборника нет ни одного уравнения, решение которого требовало бы ее применения.

Перейдем к решению упражнений.


2.4.C08

б) Решите уравнение
6sin2 ж
и 		 p
6
 -2x ц
ш 		+sin ж
и 		 p
6
 -2x ц
ш 		-2=0.

Решение. Сделаем замену переменной:
sin ж
и 		 p
6
 -2x ц
ш 		=y

. Уравнение примет вид
6y2+y-2=0 Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
y=  1
2
 ,
y=-  2
3
 .

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
sin ж
и 		 p
6
 -2x ц
ш 		=-  2
3
 ,
sin ж
и 		 p
6
 -2x ц
ш 		=  1
2
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
л
 p
6
 -2x=(-1)narcsin ж
и 		-  2
3
 ц
ш 		+pn,
 p
6
 -2x=(-1)narcsin  1
2
 +pn,n О Z,
Ы й
к
к
к
к
к
к
к
к
к
л
x=  p
12
 +  (-1)n
2
 arcsin  2
3
 -  pn
2
 ,
x=-pn,
x=-  pn
3
 -pn,n О Z.

Ответ:


x=  p
12
 +  (-1)n
2
 arcsin  2
3
 -  pn
2
 ;x=-pn;


x=-  p
3
 -pn,n О Z

.
 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100