Назад  | Оглавление | § 5 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 4. Тригонометрические уравнения
Окончание

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 4cos⁴x=13(1-cos²x)-1 Ы 4cos⁴x+13cos²x-12=0.

Сделаем замену переменной. Пусть y=cos²x. Получим систему относительно y:

м п н п о 4y2+13y-12=0, 0 Ј y Ј 1 Ы y=  3 4 .

Сделаем обратную замену переменной:

cos2x=

3 4

Ы

cosx=±

Ц3 2

, откуда

x=

p 6

+pn

или

x=-

p 6

+pn;n О Z

.

Ответ:

p 6

+pn;-

p 6

+pn;n О Z

.

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени.

cos2x+

1-cosx 2

-1=0

Ы 2cos²x-cosx-1=0.

Сделаем замену переменной: cosx=y. Уравнение примет вид 2y²-y-1=0 Ы

й к к к к к л y=1, y=-  1 2 .

Сделаем обратную замену:

й к к к к к л cosx=1, cosx=-  1 2

Ы

й к к к к к к к к к л x=2pn, x=  2p 3 +2pn, x=-  2p 3 +2pn,n О Z.

Ответ:

2pn;

2p 3

+2pn;-

2p 3

+2pn;n О Z

.

Решение. Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса. Получим уравнение

1 2 (sin15px+sin3px)=  1 2 (sin15px+sin13px) Ыsin3px=sin13pxЫ й к к к л 3px=13px+2pn, 3px=p-13px+2pn,n О Z Ы й к к к л -10x=2n, 16x=1+2n,n О Z Ы й к к к к к к к л x=-  n 5 , x=  2n+1 16 ,n О Z.

Заметим, что среди найденных корней нет одинаковых. Количество корней вида 

-

n 5

, принадлежащих отрезку [3;4], равно 6.

Количество корней вида 

2n+1 16

, лежащих на отрезке [3;4], равно 8.

Ответ:

14.

Решение. Сгруппируем в левой и правой частях уравнения функции одного аргумента: 9cos3x+40sin3x=9sin4x-40cos4x.

Применим к левой и правой частям формулу дополнительного аргумента. Уравнение примет вид

41sin ж и arcsin  9 41 +3x ц ш =41sin ж и 4x-arccos  9 41 ц ш Ы sin ж и arcsin  9 41 +3x ц ш =sin ж и 4x-arccos  9 41 ц ш Ы й к к к к к к к л arcsin  9 41 +3x=4x-arccos  9 41 +2pn, arcsin  9 41 +3x=p-4x+arccos  9 41 +2pn,n О Z Ы й к к к к к к к л -x=-arccos  9 41 -arcsin  9 41 +2pn, 7x=arccos  9 41 -arcsin  9 41 +2pn,n О Z Ы й к к к к к к к л x=  p 2 -2pn, x=  1 7 arccos  9 41 -  1 7 arcsin  9 41 +  2pn 7 ,n О Z.

Последнее преобразование проведено с учетом того, что

arccos

9 41

+arcsin

9 41

=

p 2

.

Ответ:

p 2

-2pn;

1 7

arccos

9 41

-

1 7

arcsin

9 41

+

2pn 7

;n О Z

.

Решение. Разделим обе части уравнения на sinx. Получим равносильное уравнение

2 sin2x

+13

ctg

x=-13

Ы

2

ж и

2 ctg

x+1

ц ш

+13

ctg

x+13=0Ы

2

2 ctg

x+13

ctg

x+15=0

.

Сделаем замену переменной. Пусть 

ctg

x=y

. Получаем уравнение 2y²+13y+15=0 Ы

й к к к к к л y=-5, y=-  3 2 .

Сделаем обратную замену:

й к к к к к к л ctg x=-5, ctg x=-  3 2 Ы й к к к к к л x=\arcctg (-5) +pn, x=\arcctg ж и -  3 2 ц ш +pn,n О Z.

Ответ:

p-\arcctg 5 +pn;p-\arcctg 1,5+pn;n О Z.

 Назад  |  Оглавление  |  § 5 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.