Книга для учителя	МЦНМО 2003

Глава 2. Уравнения и системы уравнений

§ 5. Показательные уравнения

Методы решения показательных уравнений (как, впрочем, и всех других уравнений) сборника не выходят за рамки изложенных в основных школьных учебниках.

Основными методами решения показательных уравнений являются:

метод группировки и разложения на множители;
замена переменной.

Решение большинства показательных уравнений после некоторых преобразований сводится к решению одного или нескольких показательных уравнений вида a^f(x) = b или a^f(x) = a^g(x) (a > 0; a № 1), последнее из которых равносильно уравнению f(x) = g(x). Заметим, что переход от уравнения a^f(x) = a^g(x) к равносильному ему уравнению f(x) = g(x) может быть объяснен различными способами. Впрочем, ученик вправе не объяснять этот переход вовсе, особенно в тех случаях, когда рассматриваемое уравнение получено в результате преобразований более сложного уравнения, и уж тем более, когда уравнение решается с помощью равносильных преобразований. В любом случае отсутствие такого объяснения едва ли следует считать недочетом. По крайней мере, его отсутствие более естественно, чем "объяснение" вроде "функция 2^t возрастает, потому что 2>1", сплошь и рядом встречающееся в медальных работах.

Как уже отмечалось, одним из наиболее распространенных методов решения уравнений (в том числе и показательных) является метод замены переменной, позволяющий свести то или иное уравнение к алгебраическому (как правило, квадратному) уравнению. Так, уравнение a ·l^2x + b ·l^x + c = 0 сводится к квадратному уравнению заменой y = l^x, y > 0. Для решения однородного уравнения вида p ·a^2x + q ·(ab)^x + r ·b^2x = 0 нужно обе его части разделить на b^2x (заметим, что по свойству показательной функции b^2x № 0 ни при каких x). После деления получится уравнение

p ·

ж
и

ц
ш

+ q·

ж
и

ц
ш

+ r = 0

, которое заменой

y =

ж
и

ц
ш

, y > 0, сводится к квадратному уравнению относительно y.

Приведем решения ряда показательных уравнений и систем уравнений.

2.5.B01

б) Решите уравнение 3^5x+2=81^x-1.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению 3^5x+2=3^4x-4 Ы 5x+2=4x-4 Ы x=-6.

Ответ:

-6.

2.5.B02

a) Решите уравнение 2004^x²-9=1999^x²-9.

Решение. Разделим обе части уравнения на 1999^x²-9. Получим равносильное уравнение

ж
и

2004

1999

ц
ш

x²-9

=1Ы x²-9=0Ы

й
к
к
к
л

x=3,

x=-3.

Ответ:

-3;3.

2.5.B06

б) Решите уравнение

4^2x+1+3·4^2x-1-5·4^2x=-64.

Решение. Вынесем за скобки общий множитель 4^2x-1 в левой части: 4^2x-1(16+3-20)=-64Ы -4^2x-1=-64Ы 4^2x-1=64Ы 2x-1=3Ы x=2.

Ответ:

2.5.C02

a) Решите уравнение 4^3x²+x-28=-3·8^x²+[ 1/3]x.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению (2^3x²+x)²-28=-3·2^3x²+x.

Сделаем замену переменной. Пусть y=2^3x²+x. Получаем уравнение

y²-28=-3y Ы y²+3y-28=0 Ы

й
к
к
к
л

y=4,

y=-7.

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
л

2^3x²+x=4,

2^3x²+x=-7

Ы 3x²+x=2Ы

й
к
к
к
к
к
л

x=-1,

Ответ:

-1;

2.5.C05

б) Решите уравнение 16^x-31·2^[(3x-5)/2]=2^-x.

Решение. Умножим обе части уравнения на 2^x. Получим равносильное уравнение

32^x-31·2^[(5x-5)/2]=1Ы 32·32^x-1-31(Ц2)^5x-5-1=0Ы 32·2^5x-5-31(Ц2)^5x-5-1=0Ы 32

ж
и

(Ц2)^5x-5

ц
ш

-31(Ц2)^5x-5-1=0

Сделаем замену переменной. Пусть y=(Ц2)^5x-5. Получим уравнение 32y²-31y-1=0. Решив его, найдем

й
к
к
к
к
к
л

y=1,

y=-

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
к
к
л

(Ц2)^5x-5=1,

(Ц2)^5x-5=-

Ы5x-5=0Ы x=1.

Ответ:

2.5.D03

a) Решите уравнение 25^2Ц{x+3}-6·5^2Ц{x+3}+5=0.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть 5^2Ц{x+3}=y. Уравнение принимает вид

y²-6y+5=0 Ы

й
к
к
к
л

y=1,

y=5.

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
л

5^2Ц{x+3}=1,

5^2Ц{x+3}=5

й
к
к
к
к
к
л

x+3

=0,

x+3

й
к
к
к
к
к
л

x=-3,

x=-

Ответ:

-3;-

2.5.D06

б) Решите уравнение 49^[ 3/(x)]-42^[ 3/(x)]=3·36^[ 3/(x)].

Решение. Представим 42^[ 3/(x)] в виде 7^[ 3/(x)]·6^[ 3/(x)].

Получим уравнение 49^[ 3/(x)]-7^[ 3/(x)]·6^[ 3/(x)]=3·36^[ 3/(x)].

Разделив обе части на 36^[ 3/(x)], придем к равносильному уравнению

ж
и

ц
ш

[ 3/(x)]

ж
и

ц
ш

[ 3/(x)]

ж
и

ц
ш

[ 6/(x)]

ж
и

ц
ш

[ 3/(x)]

-3=0

Сделаем замену переменной. Пусть

ж
и

ц
ш

[ 3/(x)]

. Получим уравнение y²-y-3=0 Ы

й
к
к
к
к
к
к
к
л

1+Ц{13}

1-Ц{13}

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
к
к
к
к
л

ж
и

ц
ш

[(3)/(x)]

Ц{13}+1

ж
и

ц
ш

[(3)/(x)]

1-Ц{13}

ж
и

ц
ш

[ 3/(x)]

=log_[ 7/6]

Ы x=3log_{[(Ц{13}+1)/2]}

Ответ:

3log_{[(Ц{13}+1)/2]}

2.5.D09

a) Решите уравнение

4^x-13·3^x-1/2=3^x+[ 1/2]-7·2^2x-1.

Решение. Перегруппируем члены так, чтобы в каждой из частей уравнения степени имели одинаковые основания: 4^x+7·2^2x-1=3^x+[ 1/2]+13·3^x-1/2 Ы 4^x+7·4^x-1/2=3^x+[ 1/2]+13·3^x-1/2.

В левой части за скобки вынесем общий множитель 4^x-1/2, в правой — общий множитель 3^x-1/2:

4^x-1/2(4^1/2+7)=3^x-1/2(3+13)Ы

4^x-1/2

3^x-1/2

ж
и

ц
ш

x-[ 1/2]

Ы x-

=2Ы x=

Ответ:

2.5.D12

б) Решите уравнение

5^x-2·5^-x

5^x+2·5^-x

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

5^x-

5^x

5^x+

5^x

Сделаем замену переменной. Пусть y=5^x. Уравнение принимает вид

м
п
п
н
п
п
о

y²-2

y²+2

y № 0

й
к
к
к
л

y=Ц5,

y=-Ц5.

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
л

5^x=Ц5,

5^x=-Ц5

Ы 5^x=Ц5 Ы 5^x=5^1/2 Ы x=

Ответ:

2.5.B11

б) Решите систему уравнений

м
п
н
п
о

3^x+3·3^y=54,

4·3^x-3·3^y=81.

Решение. Сделаем замену переменных. Пусть u=3^x;v=3^y. Получаем систему двух линейных уравнений

м
п
н
п
о

u+3v=54,

4u-3v=81,

м
п
н
п
о

u=27,

v=9.

Сделаем обратную замену:

м
п
н
п
о

3^x=27,

3^y=9

м
п
н
п
о

x=3,

y=2.

Ответ:

(3;2)

2.5.D04

a) Найдите все пары (x;y) положительных чисел x и y, являющиеся решениями системы уравнений

м
п
н
п
о

x^4y-1=8,

x^y+3=16.

Решение. По условию x > 0,y > 0. Прологарифмируем оба уравнения по основанию 2.

Получим систему

м
п
н
п
о

(4y-1)log₂x=3,

(y+3)log₂x=4.

Заметим, что

и x=1 не являются решениями системы. Разделим почленно второе уравнение на первое:

y+3

4y-1

Из полученного уравнения найдем y:

3(y+3)=4(4y-1)Ы 13y=13 Ы y=1.

Тогда

log₂x=

4-1

Ы x=2

Ответ:

(2;1).

2.5.D11

б) Решите уравнение

4^sin²x+12=4

ж
и

ц
ш

cos²x-2

Решение. Приведем степени к основанию 2:

2^2sin²x+12=4·2^2-cos²x Ы2^2sin²x+12=4·2^1+sin²xЫ2^2sin²x-8·2^sin²x+12=0.

Сделаем замену переменной. Пусть y=2^sin²x. Получаем уравнение

y²-8y+12=0 Ы

й
к
к
к
л

y=2,

y=6.

Сделаем обратную замену:

й
к
к
к
л

2^sin²x=2,

2^sin²x=6

й
к
к
к
л

sin²x=1,

sin²x=log₂6

й
к
к
к
л

sin²x=1,

sin²x=1+log₂3.

Уравнение sin²x=1+log₂3 не имеет решений, так как 1+log₂3 > 1.

sin²x=1 Ы x=

+pk,k О Z.

Ответ:

+pk,k О Z

§ 4 | Оглавление | § 6

замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
заказ книги: biblio@mccme.ru.