Книга для учителя	МЦНМО 2003

Глава 2. Уравнения и системы уравнений

§ 6. Логарифмические уравнения

Решение большинства логарифмических уравнений после некоторых преобразований сводится к решению логарифмического уравнения вида log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) или совокупности таких уравнений. Приведем соответствующее равносильное преобразование:

log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) Ы

м
п
п
п
п
н
п
п
п
п
о

l f(x) = g(x),

f(x) > 0,

h(x) > 0,

h(x) № 1.

Второе неравенство системы можно заменить неравенством g(x) > 0 (какое из двух неравенств выбрать, зависит от того, какая из функций f(x) или g(x) имеет более простой вид). Для частных случаев равносильные системы становятся менее громоздкими. Укажем основные частные случаи (a и b — числа, a>0, a № 1).

log_a f(x) = log_a g(x) Ы

м
п
п
н
п
п
о

l f(x) = g(x),

f(x) > 0,

м
п
п
н
п
п
о

l f(x) = g(x),

g(x) > 0.

log_h(x) f(x) = b Ы

м
п
п
п
н
п
п
п
о

l f(x) = (h(x))^b,

h(x) > 0,

h(x) № 1.

log_a f(x) = b Ы f(x) = a^b.

Обоснование таких переходов (вытекающих из свойств логарифмов) в письменной работе приводить совершенно не обязательно.

Основными методами решения логарифмических уравнений являются следующие:

равносильные преобразования;
переход к уравнению-следствию;
замена переменной;
разложение на множители.

Прежде чем переходить к решению примеров, сделаем несколько важных замечаний.

При решении уравнений (и неравенств), содержащих сумму двух и более логарифмов, следует помнить о том, что равенство log_a f(x) + log_ag(x) = log_a (f(x)g(x)), выполняется не при любых значениях переменной, поскольку области определения его левой и правой частей различны. Левая часть определена при f(x) > 0, g(x) > 0 (каждая из функций положительна). Правая часть определена при f(x) ·g(x) > 0 (каждая из функций положительна, либо каждая из функций отрицательна). Таким образом, область определения правой части равенства log_a f(x) + log_a g(x) = log_a (f(x)g(x)) шире области определения его левой части. Поэтому при решении уравнения переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к приобретению посторонних корней. Чтобы этого не случилось, нужно в самом начале решения выписать соответствующие ограничения или, получив корни, сделать проверку. Преобразование же логарифма произведения в сумму логарифмов таит еще больше опасностей: в этом случае область допустимых значений переменной сужается и при решении уравнения можно потерять корни. Поэтому, если такое преобразование все-таки необходимо, часто приходится рассматривать два случая:

a) f(x) > 0, g(x) > 0, тогда

log_a(f(x)g(x)) = log_a f(x) + log_a g(x);

б) f(x) < 0, g(x) < 0, тогда

log_a (f(x)g(x)) = log_a ( - f(x)) + log_a (-g(x)).

Вторая возможность перехода от логарифма произведения к сумме логарифмов заключается в преобразовании log_a (f(x)g(x)) в сумму log_a | f(x) | + log_a | g(x) |. Это преобразование также не является равносильным, но оно ведет не к сужению, а к расширению области допустимых значений переменных. Поэтому потери решений здесь не происходит, но зато могут появиться посторонние решения. Следовательно, при использовании такого преобразования обязательной является проверка. Сделанные рекомендации остаются в силе для преобразования разности логарифмов в логарифм частного и наоборот, а также при решении систем уравнений (в этом случае g(x) в приведенных рассуждениях следует заменить на g(y)).

Отметим еще, что при решении уравнений, содержащих выражения вида log_af²ⁿ(x), следует использовать формулу log_af²ⁿ(x) = 2n ·log_a | f(x) |. Если не поставить знак модуля, то получится равенство, в котором левая часть определена при всех x, таких что f(x) № 0, а правая часть — при всех x, таких что f(x) > 0. Следовательно, область определения левой части окажется шире, что может привести к потере корней при решении соответствующего уравнения.

Рассмотрим решения ряда логарифмических уравнений и систем уравнений.

2.6.A04

a) Решите систему уравнений

м
п
н
п
о

log₃(x+y)=4,

x-y=85.

Решение. Система равносильна следующей:

м
п
н
п
о

x+y=81,

x-y=85,

м
п
н
п
о

x=83,

y=-2.

Ответ:

(83;-2).

2.6.B08

б) Решите уравнение

log_[ 1/7](7^3x-5x-7)=-3x.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

7^3x-5x-7=

ж
и

ц
ш

-3x

Ы7^3x-7^3x-5x=7 Ы x=-

Ответ:

2.6.B09

a) Решите уравнение

log₃(x²+5x+5)=log₃(x²-x+5).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
н
п
о

x²+5x+5=x²-x+5,

x²+5x+5 > 0

Ы x=0.

Ответ:

2.6.C02

б) Решите уравнение

log_1,4

-18+11x

=log_1,4(2x-9).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

-18+11x

=2x-9,

2x-9 > 0

м
п
п
н
п
п
о

-18+11x=4x²-36x+81,

x >

м
п
п
н
п
п
о

4x²-47x+99=0,

x >

Корни уравнения 4x²-47x+99=0:

й
к
к
к
к
к
л

x=9,

Условию

x >

удовлетворяет только один из найденных корней: x=9.

Ответ:

2.6.C09

a) Решите уравнение

ж
и

ц
ш

=ln

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
п
н
п
п
п
о

> 0

м
п
н
п
о

4x²+19x-5=0,

x > 0

Решим уравнение 4x²+19x-5=0:

й
к
к
к
к
к
л

x=-5,

Учитывая условие x > 0, находим

Ответ:

2.6.D02

б) Решите уравнение log₂₀₀₂(2x³+x²-x-48)=log₂₀₀₂(2x³+3x-3).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
н
п
о

2x³+x²-x-48=2x³+3x-3,

2x³+3x-3 > 0

м
п
н
п
о

x²-4x-45=0,

2x³+3x-3 > 0.

Решим уравнение x²-4x-45=0. Сумма корней равна 4, а произведение корней равно -45. Согласно теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения являются числа -5 и 9.

Из двух найденных корней неравенству 2x³+3x-3 > 0 удовлетворяет корень x=9.

Ответ:

2.6.D04

a) Решите систему уравнений

м
п
п
н
п
п
о

y-2

x-3

=0,

log₆(x²+y²+23)=2.

Решение. Данная система равносильна системе

м
п
п
н
п
п
о

y-2

x-3

=1,

x²+y²+23=36

м
п
п
н
п
п
о

y-2=x-3,

x²+y²-13=0,

x-3 № 0.

Выразив y из первого уравнения полученной системы, подставим полученное выражение во второе уравнение:

x²+(x-1)²-13=0 Ы 2x²-2x-12=0 Ы

й
к
к
к
л

x=3,

x=-2.

Учитывая условие x-3 № 0, находим единственное возможное решение: x=-2.

Из первого уравнения системы найдем y: y=-2-1=-3.

Ответ:

(-2;-3).

В ряде примеров встречаются логарифмы с переменным основанием. Напомним, что при их решении необходимо учитывать, что основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

2.6.B01

a) Решите уравнение

log_7x2+log_7x4+log_7x5=log_7x(x+33).

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
п
н
п
п
п
о

7x > 0,

7x № 1,

x+33 > 0,

2·4·5=x+33

м
п
п
п
п
н
п
п
п
п
о

x > 0,

x №

x > -33,

x+33=40

Ы x=7.

Ответ:

x=7.

2.6.B06

б) Решите уравнение log_|2x+13|27=3.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

|2x+13|³=27,

|2x+13| > 0,

|2x+13| № 1

Ы |2x+13|=3Ы

й
к
к
к
л

2x+13=3,

2x+13=-3

й
к
к
к
л

x=-5,

x=-8.

Ответ:

-5;-8.

2.6.C07

a) Решите уравнение (x+3)^{log_x+3(x+2)²}=9.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

(x+2)²=9,

x+3 > 0,

x+3 № 1.

Решим уравнение (x+2)²=9:

й
к
к
к
л

x+2=3,

x+2=-3

й
к
к
к
л

x=1,

x=-5.

Из чисел 1 и -5 неравенствам системы удовлетворяет только число 1.

Ответ:

2.6.C12

б) Решите уравнение log_3x+8(2x²+3)=log_3x+835.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м
п
п
н
п
п
о

2x²+3=35,

3x+8 > 0,

3x+8 № 1

м
п
п
п
п
н
п
п
п
п
о

x²=16,

x > -

x № -

Из двух корней 4 и -4 уравнения x²=16 условиям

x > -

x № -

удовлетворяет только корень x=4.

Ответ:

2.6.D01

a) Решите уравнение

log₈log₉log_7x+6

ж
и

(7x+6)⁹+x²-x-56

ц
ш

=0.

Решение.

log₈log₉log_7x+6

ж
и

(7x+6)⁹+x²-x-56

ц
ш

=0Ыlog₉log_7x+6((7x+6)⁹+x²-x-56)=1Ы log_7x+6((7x+6)⁹+x²-x-56)=9

Перейдем к равносильной системе

м
п
п
н
п
п
о

(7x+6)⁹+x²-x-56=(7x+6)⁹,

7x+6 > 0,

7x+6 № 1

м
п
п
н
п
п
о

x²-x-56=0,

7x+6 > 0,

7x+6 № 1.

Корни уравнения последней системы найдем по теореме, обратной теореме Виета: их произведение равно -56, а сумма равна 1.

Это числа: x=-7; x=8.

Неравенствам системы удовлетворяет только корень x=8.

Ответ:

x=8.

Назад | Оглавление | Продолжение

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.