Назад  | Оглавление | Оглавление 

Глава 2. Уравнения и системы уравнений
§ 6. Логарифмические уравнения
Окончание

Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов, избавимся от степени основания в левой части уравнения и от знака корня — в правой части:

1 2

logx+6(x3+3x2-4x)=

1 2

logx+6(x3+2x2-7x+10)

.

Сократив на 

1 2

, перейдем к равносильной системе

м п п п н п п п о x3+3x2-4x=x3+2x2-7x+10, x3+3x2-4x > 0, x+6 > 0, x+6 № 1 Ы м п п п н п п п о x2+3x-10=0, x(x2+3x-4) > 0, x > -6, x № -5.

Корни уравнения x²+3x-10=0 найдем по теореме, обратной теореме Виета: их произведение равно -10, а сумма равна -3.

Это числа: x=-5; x=2.

Всем трем неравенствам системы удовлетворяет только один корень: x=2.

Ответ:

x=2.

Решение. Система имеет смысл тогда и только тогда, когда обе переменные положительны и не равны 1. Все выкладки будем проводить, считая, что эти условия выполняются.

Первое уравнение равносильно уравнению 

1 2

logxy+

2 logyx

=2

. Сделаем замену переменной. Пусть 

z=

1 2

logxy

. Получаем уравнение 

z+

1 z

=2

.

Поскольку z № 0 при y № 1, полученное уравнение равносильно уравнению

z2-2z+1=0 Ы (z-1)2=0 Ы z=1.

Сделаем обратную замену:

1 2

logxy=1 Ы logxy=2Ы y=x2

.

Второе уравнение системы принимает вид 5Цx-x=4. Заменив на t выражение Цx, получим уравнение

t2-5t+4=0 Ы й к к к л t=1, t=4.

Сделаем обратную замену:

й к к к л Цx=1, Цx=4 Ы й к к к л x=1, x=16.

Учитывая, что x № 1, получаем единственное возможное решение: x=16.

Следовательно, y=256.

Ответ:

(16;256).

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть u=log_[ 1/2]x;v=log₂y. Получаем систему линейных уравнений относительно переменных u и v:

м п н п о 5u+3v=-11, 4u+v=-13 Ы м п н п о u=-4, v=3.

Сделаем обратную замену:

м п н п о log[(1)/(2)]x=-4, log2y=3 Ы м п н п о x=16, y=8.

Ответ:

(16;8).

Решение. Сделаем замену переменной: y=log₈(5x+89). Получаем квадратное уравнение

3y2-16y+20=0 Ы й к к к к к л y=2, y=  10 3 .

Сделаем обратную замену:

й к к к к к л log8(5x+89)=2, log8(5x+89)=  10 3 .

Решим первое уравнение совокупности:

log₈(5x+89)=2Ы 5x+89=64Ы 5x=-25Ы x=-5.

Решим второе уравнение:

log8(5x+89)=

10 3

Ы 5x+89=1024 Ы 5x=935 Ы x=187.

Ответ:

-5;187.

Решение. Перенесем все члены в левую часть:

lg(x+3)+lg(2x+5)=0Ы м п п н п п о lg( (x+3)(2x+5))=0, x+3 > 0, 2x+5 > 0 Ы

Ы м п п н п п о (x+3)(2x+5)=1, x > -  5 2 Ы м п п н п п о 2x2+11x+14=0, x > -  5 2 .

Корни уравнения 2x²+11x+14=0:

й к к к к к л x=-  7 2 , x=-2.

Условию 

x > -

5 2

удовлетворяет только x=-2.

Ответ:

-2.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению

2log3x+

1 2

log3x+

1 3

log3x=

17 2

Ы

17 6

log3x=

17 2

Ы log3x=3Ы x=27

.

Ответ:

27.

Решение. Воспользуемся свойством логарифмов и перейдем к равносильной системе

м п п н п п о log7((x+9)(5x+17))=2, x+9 > 0, 5x+17 > 0 Ы м п п н п п о (x+9)(5x+17)=49, x > -  17 5 Ы м п п н п п о 5x2+62x+104=0, x > -  17 5 .

Корни уравнения 5x²+62x+104=0:

й к к к к к л x=-  52 5 , x=-2.

Учитывая условие 

x > -

17 5

, находим x=-2.

Ответ:

-2.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п н п п о log5((2x+81)(x+38))=2+log521, x+38 > 0, 2x+81 > 0 Ы м п н п о log5((2x+81)(x+38))=log525+log521, x > -38 Ы м п н п о log5((2x+81)(x+38))=log5525, x > -38 Ы м п н п о (2x+81)(x+38)=525, x > -38.

Решим уравнение (2x+81)(x+38)=525. Раскроем скобки и приведем подобные члены: 2x²+157x+2553=0.

Найдем дискриминант: D=157²-4·2·2553=4225. Корни уравнения:

й к к к к к к к л x=  -157-65 2·2 , x=  -157+65 2·2 Ы й к к к к к л x=-23, x=-  111 2 .

Условию x > -38 удовлетворяет корень x=-23.

Ответ:

-23.

Решение. Перейдем к равносильному уравнению

log8((x+6)2(x+4)2)=2log83Ыlog8((x+6)2(x+4)2)=log832Ы(x+6)2(x+4)2=9.

Полученное уравнение равносильно совокупности

й к к к л (x+6)(x+4)=3, (x+6)(x+4)=-3 Ы й к к к л x2+10x+21=0, x2+10x+27=0.

Решим первое уравнение. Воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета: сумма корней уравнения x²+10x+21=0 равна -10, а их произведение равно 21. Корнями являются числа -3;-7.

Решим второе уравнение. x²+10x+27=0. Найдем дискриминант уравнения: D=10²-4·27=-8.

Дискриминант отрицателен. Решений нет.

Ответ:

-3;-7.

Решение. Данное уравнение равносильно системе

м п п н п п о log[(3)/(4)]((lnx3-5)(lnx5-9))=0, lnx3-5 > 0, lnx5-9 > 0 Ы м п п н п п о (lnx3-5)(lnx5-9)=1, lnx3 > 5, lnx5 > 9 Ы м п п н п п о (lnx3-5)(lnx5-9)=1, 3lnx > 5, 5lnx > 9.

Сделаем замену переменной. Пусть lnx=y.

Система принимает вид

м п п н п п о (3y-5)(5y-9)=1, 3y > 5, 5y > 9 Ы м п п н п п о 15y2-52y+45=1, y >  9 5 Ы м п п н п п о 15y2-52y+44=0, y >  9 5 .

Корни уравнения 15y²-52y+44=0:

й к к к к к л y=  22 15 , y=2.

Условию 

y >

9 5

удовлетворяет корень y=2.

Сделаем обратную замену переменной: lnx=2 Ы x=e².

Ответ:

e².

 Назад  |  Оглавление  |  Оглавление 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.