Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 10. § 12  |  Оглавление |  Глава 10. Задачи для самостоятельного решения 

§ 13.  Неравенства в треугольниках

10.86.
Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что NO Ј 2MO.
10.87.
Докажите, что если треугольник ABC лежит внутри треугольника AўBўCў, то rABC < rAўBўCў.
10.88.
В треугольнике ABC сторона c наибольшая, а a наименьшая. Докажите, что lc Ј ha.
10.89.
Медианы AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны. Докажите, что ctg A + ctg B і 2/3.
10.90.
Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основанием AC проведена окружность, касающаяся стороны BC в точке M и пересекающая сторону AB в точке N. Докажите, что AN > CM.
10.91*.
В остроугольном треугольнике ABC биссектриса AD, медиана BM и высота CH пересекаются в одной точке. В каких пределах может изменяться величина угла A?
10.92*.
В треугольнике ABC стороны равны a,b,c; соответственные углы (в радианах) равны a,b,g. Докажите, что
 p
3
 Ј  aa + bb + cg
a + b + c
 <  p
2
 .
10.93*.
Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что AOsin BOC + BOsin AOC + COsin AOB Ј p.
10.94*.
На продолжении наибольшей стороны AC треугольника ABC за точку C взята точка D так, что CD = CB. Докажите, что угол ABD не острый.
10.95*.
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и CM. Докажите, что если AB > BC, то AM > MK > KC.
10.96*.
На сторонах BC,CA,AB треугольника ABC взяты точки X,Y,Z так, что прямые AX,BY,CZ пересекаются в одной точке O. Докажите, что из отношений OA : OX, OB : OY,OC : OZ по крайней мере одно не больше 2 и одно не меньше 2.
10.97*.
Окружность S1 касается сторон AC и AB треугольника ABC, окружность S2 касается сторон BC и AB, кроме того,  S1 и S2 касаются друг друга внешним образом. Докажите, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса вписанной окружности S.
См. также задачи 14.26, 17.16, 17.18.
  Глава 10. § 12  |  Оглавление |  Глава 10. Задачи для самостоятельного решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100