Глава 10. § 5  |	Оглавление |	Глава 10. § 7

§ 6.  Симметричные неравенства для углов треугольника

Пусть a, b и g — углы треугольника ABC. В задачах этого параграфа требуется доказать указанные в условиях неравенства.

Замечание. Если a, b и g — углы некоторого треугольника, то существует треугольник с углами (p – a)/2, (p – b)/2 и (p – g)/2.

В самом деле, эти числа положительны и их сумма равна p. Следовательно, если некоторое симметричное неравенство справедливо для синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов любого треугольника, то справедливо и аналогичное неравенство, в котором sin x заменен на cos (x/2),  cos x- на sin (x/2),  tg x- на ctg (x/2) и ctg x- на tg (x/2). Обратный переход от неравенств с половинными углами к неравенствам с целыми углами возможен лишь для остроугольных треугольников. В самом деле, если aў = (p – a)/2, то a  = p – 2aў. Поэтому для остроугольного треугольника с углами aў, bў,gў существует треугольник с углами p – 2aў, p – 2bў, p – 2gў. При такой замене sin (x/2) переходит в cos x и т. д., но полученное неравенство может оказаться справедливым лишь для остроугольных треугольников.

10.36^*.

а) 1 < cos a + cos b + cos g Ј 3/2;

10.37^*.

а) sin a + sin b + sin g Ј 3Ц3/2;

10.38^*.

а) ctg a + ctg b + ctg g і Ц3;

10.39^*.

а) ctg (a/2) + ctg (b/2) + ctg (g/2) і 3Ц3.

10.40^*.

а) sin (a/2)sin (b/2)sin (g/2) Ј 1/8;

10.41^*.

а) sin asin bsin g Ј 3Ц3/8;

10.42^*.

а) cos ²a + cos ²b + cos ²g і 3/4.

10.43^*.

а) cos acos b + cos bcos g + cos gcos a Ј 3/4.

10.44^*.

Для остроугольного треугольника

sin 2a + sin 2b + sin 2g Ј sin (a + b) + sin (b + g) + sin (g + a).

Глава 10. § 5  |	Оглавление |	Глава 10. § 7

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.